ГЛАВА I. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пожалуй, главную трудность для начинающего при переходе к изучению функций нескольких комплексных переменных представляет отсутствие простых, наглядных геометрических представлений. Поэтому мы с самого начала отметим особенности комплексного пространства и подробно опишем ряд простейших областей в нем.

§ 1. Комплексное пространство

1. Пространство Рассмотрим четномерное евклидово пространство точками которого являются упорядоченные наборы действительных чисел Мы введем в нем комплексную структуру, положив Часто мы будем обозначать так что Пространство, точками которого являются упорядоченные наборы (конечных) комплексных чисел

мы будем называть -мерным комплексным пространством и обозначать его символом О. В частности, при мы получаем плоскость комплексных чисел. Можно считать, что при любом пространство является произведением комплексных плоскостей

Таким образом, точки -мерного комплексного пространства — это точки -мерного действительного пространства Однако введение комплексной структуры в сразу вводит в этом пространстве асимметрию — не все координаты в нем равноправны (например, мы объединяем в комплекс не объединяем).

Следствием такой асимметрии является, в частности, то, что не все плоскости при переходе от к С оказываются равноправными. Рассмотрим, например, -мерную плоскость

где действительные постоянные и уравнения независимы, т. е. . Полагая, как выше, будем иметь

и поэтому мы сможем переписать уравнение этой плоскости в виде

где — комплексные постоянные.

Среди всех таких плоскостей выделим те, в уравнения которых не входят переменные такие плоскости будем называть (комплексно) -мерными аналитическими плоскостями. Следовательно, по определению уравнением -мерной аналитической плоскости будет

Только аналитические плоскости будут «настоящими» плоскостями пространства другие плоскости из в частности, все нечетномерные плоскости) не следует считать плоскостями из Например, в множество точек, описываемое уравнением (т. е. двумерная плоскость из считается плоскостью, а множество (т. е. двумерная плоскость из не считается.

Комплексно -мерные аналитические плоскости мы будем называть координатными плоскостями. Комплексно одномерные аналитические плоскости называются еще аналитическими прямыми. Аналитические прямые, проходящие через заданную можно записать уравнениями

где некоторые постоянные (не все равные 0). Обозначая общую величину отношений в (6) через , мы можем переписать уравнение аналитической прямой в параметрической форме:

В С естественно вводится структура векторного пространства: под суммой векторов понимается вектор и под произведением вектора на число — вектор

Пользуясь этими операциями, мы можем записать уравнения аналитической прямой в векторной форме:

где направляющий вектор прямой, а параметр. Таким образом, аналитическая прямая — это линейная вектор-функция комплексного переменного со значениями в комплексном пространстве можно ввести структуру метрического пространства. Обычно рассматривают две метрики: евклидову метрику

и еще одну метрику —

которую мы будем называть -метрикой. Очевидно, что -метрика, как и евклидова, удовлетворяет обычным аксиомам:

а) - аксиома симметрии;

в) - аксиома треугольника. В соответствии с этими метриками в вводятся и топологии. Это делается указанием системы окрестностей: в евклидовой метрике под -окрестностью точки понимается шар:

а в -метрике — поликруг (или полицилиндр):

Очевидное двойное неравенство

показывает, что метрики (9) и (10) вводят в эквивалентные топологии.

В заключение этого пункта опишем коротко компактификацию пространства т. е. пополнение его бесконечными

элементами. Наиболее простой способ компактификации приводит к так называемому пространству теории функций Мы уже говорили, что О можно рассматривать как произведение комплексных плоскостей С. Но плоскость С присоединением бесконечной точки пополняется до замкнутой плоскости С, гомеоморфной сфере Естественно поэтому пополнить до произведения замкнутых плоскостей (сфер) - так мы и приходим к пространству теории функций

Таким образом, по определению точками являются упорядоченные наборы из точек, принадлежащих замкнутым плоскостям С. Бесконечными (несобственными) точками будут те точки, хотя бы одна координата которых является бесконечной. Множество всех бесконечных точек О естественным образом разбивается на множеств Точки из имеют, следовательно, вид где конечные или бесконечные комплексные числа. Каждое а значит и множество всех бесконечных точек имеет комплексную размерность Все пересекаются в точке

Топология в вводится, как в произведении пространств: под окрестностью точки понимается произведение окрестностей точек в замкнутых плоскостях переменных . В этой топологии пространство оказывается компактным: из каждой последовательности точек можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке

Другой способ компактификации С приводит к так называемому комплексному проективному пространству Введем в пространстве С однородные координаты положив

Однородные координаты точки определяются с точностью до множителя пропорциональности (т. е. наряду с

координатами точки будут и где любое комплексное число). Обратно, любому набору однородных координат где по формулам (15) соответствует точка (причем координатам с разными отношениями (15) соответствуют различные точки). Чтобы устранить особое положение последней однородной координаты мы пополним несобственными (бесконечными) точками, и тогда любым наборам однородных координат будут соответствовать точки некоторого пространства которое и называется комплексным проективным пространством. Точкам для которых по формулам (15) соответствуют точки поэтому действительно пополняет Точкам , для которых отвечают бесконечные (несобственные) точки.

Точнее, точками служат не сами наборы а классы эквивалентных наборов, если считать. два набора и эквивалентными, когда координаты пропорциональны самом деле, любому представителю такого класса эквивалентности (для которого мы ставим в соответствие одну точку , причем представителям различных классов эквивалентности сопоставляются различные точки. Такие классы эквивалентности можно наглядно представить при помощи аналитических прямых в пространстве Действительно, эквивалентные наборы характеризуют аналитическую прямую в

проходящую через начало координат (замена любым не меняет прямой; неэквивалентные определяют различные прямые). Поэтому и точки из лучше представлять как такие прямые. В частности, любая аналитическая прямая для которой представляет бесконечную точку.

Хорошо известна модель проективной плоскости, которая получается из сферы в отождествлением диаметрально противоположных точек (пересечения сферы с прямыми из изображающими точки проективной плоскости). Точно так же можно представлять при помощи сферы из и действительное -мерное проективное пространство. Мы опишем вкратце соответствующую модель для

Так как каждая аналитическая прямая из проходящая через начало, вполне характеризуется единичным вектором то можно представлять как множество точек сферы из При этом, однако, следует отождествить

точки пересечения с аналитической прямой, изображающей точку Пусть такая прямая задается параметрическими уравнениями так как уравнением сферы служит то для точек пересечения будем иметь или Отсюда видно, что пересекаются по одномерному множеству — окружности лежащей на (двумерной) аналитической прямой и на -мерной сфере. Таким образом, точки можно еще представлять как окружности на единичной сфере находится в соответствии с тем, что имеет действительную размерность . В частности, окружности, которые получаются в пересечении с прямыми для которых представляют бесконечные точки.

В пространстве можно ввести топологию, объявляя «близкими» те прямые которые определяются «близкими» единичными векторами (или те окружности на которые получаются при ее пересечении с «близкими» прямыми). В этой топологии оказывается компактным пространством.