52. Метрика Бергмана.

При помощи кернфункции можно ввести риманову метрику, инвариантную относительно голоморфных гомеоморфизмов (голоморфизмов). Выясним сначала, как меняется при таких отображениях сама кернфункция. Пусть

— голоморфизм области на область По доказанному в п. 44 якобиан этого отображения

(мы будем для сокращения письма пользоваться этими обозначениями) нигде в не обращается в нуль, а якобиан обратного отображения

равен обратной величине Напомним еще, что при замене переменных действительный якобиан (отношение элементов объема)

Теорема 1. При голоморфизме области ограниченного вида на кернфункции этих областей в соответствующих точках и связаны соотношением

Пусть произвольная полная ортонормальная система, тогда

будет такой же системой для области . В самом деле,

следовательно, система ортонормальна, ибо

и полна, ибо каждая представляется в виде о где а умножая разложение на мы получим Поэтому по формуле (10) предыдущего пункта мы получаем

Из формулы (4), в частности, следует, что

где обратная величина по всем функциям (см. предыдущий пункт). Отсюда

где и дифференцирование с учетом голоморфности дает

Формула (6) показывает, что величины

при голоморфизмах меняются по тензорному закону изменения дифференциальных форм бистепени (см. п. 10). Определение. Дифференциальная форма

где коэффициенты вычисляются через кернфункцию области по формулам (7), называется формой Бергмана для этой области. Эта форма инвариантна относительно голоморфизмов области

Теорема 2. В любой области ограниченного вида форма Бергмана (8) является эрмитовой и положительно определенной.

Эрмитовость формы выражается равенствами которые вытекают непосредственно из (7), если учесть, что

Положительная определенность означает, что для любого вектора , в любой точке

Для доказательства этого неравенства мы фиксируем рассмотрим множество

и покажем, что

где вычисляются в точке

Выберем в какую-либо полную ортонормальную систему и пусть Тогда вариационная задача (10) сведется к отысканию при условиях

(значения и их производных берутся в точке пределы суммирования по мы опускаем). Задача имеет единственное решение (это Доказывается, как теорема 1 из предыдущего пункта), и для его отыскания мы воспользуемся методом множителей Лагранжа. Возьмем вспомогательную функцию

и заметим, что условия ее экстремума имеют вид

Отсюда следует с учетом (11), что для экстремальных значений

Чтобы найти мы подставим значение из (12) в условия (11):

Коэффициенты этой системы выражаются через и ее производные; решая ее, мы найдем

Остается заметить, что

и поэтому совпадает с правой частью (10)

Замечание. Положительная определенность формы Бергмана, выражаемая неравенством (9), означает (строгую) плюрисубгармоничность функции (см. п. 25). Этот результат сильнее теоремы 3 предыдущего пункта, ибо из плюрисубгармоничности логарифма функции следует плюрисубгармоничность самой функции, а обратное неверно.

На основании теоремы 2 в каждой области ограниченного вида можно ввести риманову метрику

по доказанному выше инвариантную относительно голоморфизмов. Эта метрика называется метрикой Бергмана.

Примеры. Для поликруга по формуле (14) предыдущего пункта метрика Бергмана определяется формулой

где При в круге получаем так называемую гиперболическую метрику

Эта метрика инвариантна относительно конформных отображений и, в частности, не меняет своего вида при конформных автоморфизмах круга, т. е. дробно-линейных преобразованиях имеем

Геометрия, определяемая этой метрикой, является геометрией Лобачевского; движениями в ней служат дробно-линейные автоморфизмы круга (они не меняют расстояний).

Для шара по формуле (15) предыдущего пункта

где Из сравнения (14) и (15) можно еще раз сделать вывод о невозможности биголоморфного отображения шара на поликруг.