§ 8. Понятие аналитической функции

Описательно говоря, под аналитической функцией понимается то, что получается из аналитических элементов в результате аналитического продолжения. Здесь мы подробно разберем это понятие.

28. Аналитические функции.

Под (аналитическим) элементом мы будем сейчас, как в п. 26, понимать пару составленную из области и голоморфной в функции

В различных окрестностях фиксированной точки а голоморфная функция порождает различные элементы. Мы введем понятие эквивалентности элементов с тем, чтобы отвлечься от несущественного различия в выборе окрестностей.

Определение 1. Два элемента области которых содержат одну и ту же точку называются эквивалентными в точке если существует окрест ность точки , в которой

Очевидно, что это отношение эквивалентности удовлетворяет обычным аксиомам. По теореме единственности для эквивалентности двух элементов в точке необходимо и достаточно, чтобы функции, принадлежащие этим элементам, совпадали во всей содержащей точку а компоненте пересечения их областей.

Совокупность эквивалентных друг другу в данной точке элементов называют ростком аналитической функции в точке а. Смысл этого понятия состоит в локализации понятия элемента: рассматривая вместо фиксированного элемента класс всех элементов, ему эквивалентных (в том числе и элементов, области которых сколь угодно малы), мы выделяем в понятии ростка то общее, что объединяет эквивалентные элементы. Поэтому росток характеризует локальные свойства функции в рассматриваемой точке.

Очевидно, росток означает нечто большее, чем просто значение функции в рассматриваемой точке. В самом деле, пусть.

и функция в правой полуплоскости определена соотношением

где Продолжая элемент в левую полуплоскость по верхней полуокружности мы получим элемент состоящий из и функции

а продолжение его вдоль полуокружности , приведет к элементу состоящему из и функции

Элементы и различны, поэтому различны и их ростки в точке Однако значения функций в рассматриваемой точке совпадают: при подсчете мы полагаем следовательно, а при подсчете считаем следовательно,

К понятию аналитической функции мы придем, если будем рассматривать совокупности (аналитических) элементов , где пробегает произвольное множество индексов А, причем предположим, что каждый из этих элементов получается из любого другого аналитическим продолжением. Голоморфные функции принадлежащие элементам, будем называть ветвями рассматриваемой аналитической функции.

Для удобства работы с этим понятием мы несколько конкретизируем его, заменив произвольные элементы каноническими и продолжение — продолжением вдоль путей Так мы приходим к следующему определению.

Определение 2. Аналитической функцией называется совокупность канонических элементов, которые получаются из одного какого-либо элемента аналитическими продолжениями вдоль всех путей, начинающихся в центре а элемента вдоль которых такое продолжение возможно.

Очевидно, что это понятие не зависит от выбора начального элемента . В самом деле, пусть любой элемент, принадлежащий аналитической функции, которая определяется начальным элементом Тогда получается из продолжением вдоль пути у. Но и получается из продолжением вдоль пути у. а любой другой элемент который получается

из продолжением вдоль пути К, можно получить и из продолжением вдоль пути (определение объединения путей см. в п. 14).

Определение 3. Две аналитические функции, определяемые каноническими элементами, считаются равными, если они имеют хотя бы один общий элемент. (По теореме единственности продолжения вдоль пути тогда и все их соответствующие элементы равны друг другу.) Две аналитические функции, определяемые произвольными элементами, считаются равными, если какие-либо их элементы эквивалентны друг другу в смысле определения 1 (тогда и все их соответствующие элементы эквивалентны).

Теорема 1. Объединение кругов сходимости элементову принадлежащих аналитической функции, образует область.

Пусть это объединение; оно открыто, как объединение открытых множеств (если ), то принадлежит и кругу сходимости некоторого элемента, входит в Но и связно, ибо для любых точек можно найти принадлежащие функции элементы, которые имеют эти точки центрами, а так как эти элементы получаются друг из друга продолжением вдоль некоторого пути соединяющего а и то и все точки принадлежат

Таким образом, открытое связное множество, т. е. область

Заметим, что аналитическая функция не является в этой области функцией в обычном смысле слова. В самом деле, пусть

— элемент из примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Мы видели, что его можно продолжить в круг двумя способами, которые приводят к двум различным голоморфным в V функциям в Таким образом, аналитическая функция с начальным элементом каждой точке ставит в соответствие два различных значения (отличающихся знаком).

Ниже, в § 9, мы введем вместо плоских областей такие объекты (римановы поверхности), на которых аналитические

функции можно будет рассматривать как обычные (однозначные) функции.

Правда, в некоторых случаях аналитические функции можно рассматривать как обычные функции и в плоских областях. Например, справедлива такая

Теорема 2 (о монодромии). Если некоторый элемент аналитически продолжаем вдоль любого пути у, принадлежащего односвязной области то определяемая продолжениями вдоль таких путей аналитическая функция однозначна в этой области.

Пусть имеет центром точку произвольная точка этой области. В силу односвязности любые два пути ведущие в из точки а в гомотопны, а по условию элемент продолжаем вдоль любого пути, осуществляющего гомотопию. Следовательно, по теореме об инвариантности аналитического продолжения элементы аналитической функции с центром в точке совпадают. Их значение в точке мы и сопоставим этой точке. Таким образом, аналитическая функция определяет (однозначную) функцию в области

Если условие теоремы о монодромии не выполняется (например, если область неодносвязна или не все элементы продолжаются вдоль всех путей то аналитическая функция может сопоставлять точкам несколько значений (они будут значениями различных ветвей аналитической функции в точке Сколько же значений может при этом сопоставляться фиксированной точке? Ответ на этот вопрос дает

Теорема 3 (Пуанкаре — Вольтерра). Аналитическая функция может иметь не более чем счетное множество различных элементов с центром в фиксированной точке.

Пусть аналитическая функция определяется начальным элементом с центром а и произвольная точка области ), образованной кругами элементов, которые получаются при продолжении (теорема 1). По теореме 2 п. 27 любой принадлежащий функции элемент с центром в точке можно получить при помощи конечной цепочки элементов с центрами в которой каждый следующий элемент является непосредственным аналитическим продолжением предыдущего.

Без ограничения общности можно считать, что точки рациональны (т. е. рациональные числа). В самом деле, пусть сначала центры элементов произвольны. В сколь угодно малой окрестности каждой точки возьмем рациональную точку и заменим непосредственным аналитическим продолжением с центром в Ясно (см. доказательство теоремы 3 из п. 27), что

при достаточно малых результат продолжения по новой цепочке будет совпадать со старым.

Остается заметить, что множество возможных непосредственных аналитических продолжений с рациональными центрами элемента 3 счетно, так же как и множества элементов Так как задание и точки однозначно определяет элемент (хотя различные могут привести к одинаковым то множество возможных элементов не более чем счетно

Пример аналитической функции, которая сопоставляет точкам области бесконечное (счетное) множество значений, мы приведем в следующем пункте.

Над аналитическими функциями можно производить обычные для анализа действия, которые определяются как соответствующие действия над их ветвями. Так, производной аналитической функции называется аналитическая функция, элементами которой служат пары где Суммой аналитических функций определяемых элементами с одинаковыми областями, называется аналитическая функция с элементами Аналогично определяются произведение и частное аналитических функций, однако частное двух аналитических функций будет аналитической функцией лишь в том случае, когда делитель отличен от нуля.

Можно определить также композицию двух аналитических функций как аналитическую функцию с элементами при этом предполагается, что и что всех Например, под понимается аналитическая функция с элементами

При желании можно определить действия над аналитическими функциями, не связывая их с рассмотрением областей элементов. Для этого нужно воспользоваться локализацией понятия элементов, перейдя от них к росткам. Напомним, что ростком аналитической функции в точке а называется класс эквивалентных элементов при следующем понятии эквивалентности: элементы считаются эквивалентными, если пересечение содержит точку а и в некоторой окрестности этой точки.

Действия над ростками вводятся естественным образом. Именно, под производной ростка понимается класс элементов, эквивалентных где - какой-либо представитель класса (очевидно, не зависит от выбора представителя). Аналогично определяются сумма и произведение ростков в данной точке. Совокупность ростков

аналитических функций в данной точке а составляет, очевидно, коммутативное кольцо.