§ 8. Псевдовыпуклость

Здесь мы познакомимся с другой трактовкой понятия голоморфной выпуклости, которая имеет два существенных достоинства: во-первых, это понятие можно сформулировать локально (и в таком виде оно легче проверяется), и, во-вторых, оно естественно выражается, формулируется в геометрических терминах.

23. Принцип непрерывности.

Начнем еще с одной теоремы о принудительном аналитическом продолжении. Для ее формулировки условимся о некоторых терминах.

Определение. Будем называть комплексно -мерной аналитической поверхностью в области ее образ 5 при взаимно однозначном голоморфном отображении определяемом функциями

если ранг матрицы Якоби всюду в равен

Комплексно одномерные аналитические поверхности называют также аналитическими кривыми (если, в частности, все линейны: то мы получаем аналитическую прямую, см. гл. I).

Аналитическая поверхность является, очевидно, связным комплексно аналитическим многообразием. Для функций, голоморфных на аналитических поверхностях, конечно, справедливы теорема единственности и принцип максимума, доказанные в

Будем называть (комплексно) -мерную аналитическую поверхность компактной, если она является компактным подмножеством другой -мерной аналитической поверхности Для компактных аналитических поверхностей принцип максимума модуля можно, очевидно, сформулировать так: для любой функции голоморфной на и непрерывной на замыкании

Далее, назовем последовательность множеств сходящейся к множеству М (обозначение: ), если для любого найдется номер такой, что при всех

где через обозначены -раздутия соответствующих множеств (т. е. объединения всех поликругов с центрами в точках множеств).

Теорема ( енке — Зоммер). Пусть последовательность компактных -мерных аналитических поверхностей, принадлежащих вместе с границами области

Рис. 103.

Если сходится к некоторому множеству множеству (рис. 103), то любая функция голоморфно продолжается в некоторую окрестность множества

Так как то существует область такая, что обозначим . В силу сходимости найдется такое что при

Для любой и любой точки по принципу максимума модуля имеем

а отсюда в силу (3) при получаем

Но это означает, что а следовательно и вся поверхность при принадлежит выпуклой оболочке По теореме об одновременном продолжении отсюда следует, что любая функция голоморфно продолжается в -раздутие всех поверхностей с номерами

Наконец, в силу сходимости найдется такое что при всех следовательно, любая голоморфно продолжается в —раздутие множества

Замечание. Как видно из доказательства, в теореме Бенке — Зоммера класс можно заменить классом

функций, голоморфных лишь в пересечении с некоторой окрестностью предельного множества

Теорему Бенке — Зоммера называют принципом непрерывности. Описательно говоря, она состоит в том, что свойство функций быть голоморфной в окрестности аналитических поверхностей сохраняется и для предельного множества этих поверхностей.

В качестве примера применения принципа непрерывности приведем доказательство одной леммы, которая понадобится нам в следующем параграфе при изучении продолжения функций, голоморфных в трубчатых областях.

Рис. 104.

Лемма. Пусть три точки пространства не лежащие на одной прямой, замкнутые отрезки, а замкнутый треугольник. Если функция голоморфна в окрестности множества то она голоморфно продолжается в окрестность множества

Иными словами, всякая функция голоморфная в окрестности объединения двух граней трехгранной призмы (рис. 104), непременно продолжается голоморфно в окрестность всей призмы.

Без ограничения общности можно считать, что , ибо этого можно достичь линейным преобразованием пространства с действительными коэффициентами. Достаточно доказать, что голоморфно продолжается в любую точку а множества Можно считать, что а лежит в пересечении с действительным подпространством т. е. в треугольнике (этого можно достичь сдвигом на вектор с чисто мнимыми координатами).

Итак, нужно доказать, что продолжается голоморфно в любую точку , где действительные числа, удовлетворяющие условию (при нашем

расположении осей это условие того, что при голоморфность уже предположена). Для доказательства проведем через точки параболу

(для этого надо взять при парабола выродится в прямую и для любого рассмотрим аналитическую кривую

Переменное мы рассматриваем как параметр на Чтобы доказать компактность достаточно показать, что при значения 2) меняются в ограниченной области плоскости Но проекция на плоскость определяется условием которое записывается в виде

и выделяет ограниченную область, заключенную между гиперболами

(заштрихована на рис. 105). Заметим еще, что аналитические кривые пои пересекают по принадлежащему А отрезку параболы

параллельной параболе (4) (изображена пунктиром на .

Обозначим

голоморфно продолжается в окрестность это, очевидно, открытое множество. Оно непусто, ибо при достаточно малых область (6) изменения как видно из рис. 105, лежит в сколь угодно малой окрестности точки следовательно, в сколь угодно малой окрестности точки где по условию голоморфна. Но множество в то же время и замкнуто. В самом деле, если — предельная точка то существует последовательность

Рис. 105.

при этом голоморфна в окрестности всех и (заметим, что при любом принадлежит множеству где голоморфна по условию). Мы можем, следовательно, применить принцип непрерывности (см. замечание после его доказательства) и заключить, что Таким образом, значит, голоморфно продолжается в окрестность но содержит точку а