46. Субгармонические функции.

Логарифм модуля голоморфной функции является гармонической функцией лишь в окрестности точек, где в нулях обращается в т. е. теряет гармоничность. Сейчас мы введем более общий класс субгармонических функций, который, в частности, будет содержать и логарифмы модулей голоморфных функций.

Одномерным аналогом гармонических функций являются линейные функции для которых При помощи линейных функций можно определить выпуклые функции следующим образом: функция называется выпуклой (вниз), если для любого отрезка из области ее определения и любой линейной функции из неравенств следует неравенство для всех

Субгармонические функции являются двумерным аналогом выпуклых функций. Они не обязаны быть всюду непрерывными — можно ограничиться лишь требованием полунепрерывности.

Определение 1. Действительная функция определенная в окрестности точки называется полунепрерывной сверху в этой точке, если для любого найдется такое, что

или, что эквивалентно,

Если область, то функция полунепрерывная сверху в каждой точке называется полунепрерывной сверху в этой области. Нетрудно видеть, что для полунепрерывности сверху функции и в области необходимо и достаточно, чтобы для любого множество меньших значений было открытым.

Обычным образом определяется полунепрерывности функции на множестве и доказывается, что функция, полунепрерывная сверху на компакте К, ограничена сверху и достигает на К своего наибольшего значения.

Определение 2. Функция называется субгармонической в области если 1) она полунепрерывна сверху в и 2) для любого достаточно малого круга и любой гармонической в и непрерывной в функции

Такую функцию будем называть гармонической мажорантой функции и для круга

Отметим несколько простых свойств субгармонических функций, которые подчеркивают их аналогию с выпуклыми функциями.

Теорема 1. Если субгармоническая в области функция и достигает локального максимума в некоторой точке то она постоянна в некоторой окрестности

Пусть и не постоянна ни в какой окрестности 20. Тогда найдется достаточно малый круг такой, что для всех а в некоторой точке окружности справедливо строгое неравенство . В силу полунепрерывности сверху функции и для достаточно малого найдется дуга на которой

Возьмем дугу и построим непрерывную на у функцию положив ее равной на равной на а на дугах пусть она линейно зависит от Тогда на у будет и по определению субгармоничности

где гармоническое продолжение (см. предыдущий пункт). Но правая часть (4) строго меньше противоречие доказывает теорему

Следующая теорема показывает, что локальное свойство субгармоничности, выражаемое определением 2, влечет за собой соответствующее свойство в целом.

Теорема 2. Если функция и субгармонична в и область то для любой функции А, гармонической в и непрерывной в

Положим так как эта функция полунепрерывна сверху в то она достигает в своего наибольшего значения требуется доказать, что Обозначим по теореме 1 это множество открыто, а в силу полунепрерывности оно также и замкнуто в Если оно пусто, то достигается на где , поэтому Если непусто, то тогда а в силу полунепрерывности опять ибо на

Функцию А, удовлетворяющую условию (5), будем называть гармонической мажорантой функции и для области

Теорема 3. Если субгармоническая в области функция и в некоторой точке области совпадает со своей гармонической мажорантой для то и

Функция субгармонична и неотрицательна в поэтому в каждой точке гей, где она достигает локального максимума. Множество Непусто (оно содержит по теореме 1 оно открыто, а в силу полунепрерывности и в то же время и замкнуто в Поэтому

Следствие. В условиях теоремы 1 функция и постоянна во всей области

Теорема 4. Пусть где индекс а пробегает некоторое множество А, — семейство функций, субгармонических в области Если верхняя огибающая семейства, полунепрерывна сверху, то она субгармонична в

Нужно проверить лишь условие 2) в определении субгармонической функции. Пусть круг а гармоническая в и непрерывная в функция на Тогда на для всех а так как субгармоничны, то для всех а Отсюда следует, что и А и в U

В предыдущем пункте мы доказали, что гармонические функции характеризуются тем, что их значение в каждой точке равно их среднему значению по окружности (или кругу) с центром в этой точке. Приведем аналогичное свойство и для субгармонических функций, конечно, с заменой равенства соответствующим неравенством.

Теорема 5 (критерий субгармоничности). Для того чтобы полунепрерывная сверху в области функция и

была субгармонической в необходимо и достаточно существование для каждой тонки такого числа что для всех

а) Необходимость. Пусть и субгармонична в произвольная точка и — расстояние от до Так как и полунепрерывна сверху, то для любого существует сходящаяся к и на окружности убывающая последовательность непрерывных на у функций Обозначим через гармоническое продолжение в круг Так как на имеем то по принципу максимума такое же неравенство имеет место и для гармонических функций , т. е. последовательность убывает в Поэтому в определена функция

которая по теореме Харнака либо гармонична в либо тождественно равна

По теореме о среднем для гармонических функций

переходя к пределу под знаком интеграла (что законно в силу монотонности), получим, что

Если то там , т. е. (6) выполняется тривиально. В противном случае из субгармоничности и и неравенств на заключаем, что для всех и в пределе при получаем, что

Необходимость критерия доказана.

б) Достаточность. Пусть и полунепрерывна сверху в и удовлетворяет условию (6). Обозначим через функцию, гармоническую в круге непрерывную в и такуючто на Функция полунепрерывна сверху в и, причем по условию (6) и теореме о среднем для гармонических функций для любой точки и достаточно малых

или

Полунепрерывности и этого свойства достаточно для того, чтобы для в круге было справедливо утверждение теоремы 1. Поэтому если наибольшее значение то множество открыто; в силу полунепрерывности оно и замкнуто в Дальнейшее доказательство идет, как в теореме 2: если пусто, то достигается на следовательно если непусто, то и опять

Функция к, определяемая в круге формулой (7), называется наилучшей гармонической мажорантой функции и для этого круга.

При помощи этого критерия легко доказывается утверждение, сделанное в начале пункта:

Следствие. Если функция голоморфна в области то функция субгармонична в этой области.

Полунепрерывность функции и очевидна. Если не является нулем то допускает выделение голоморфной ветви в некоторой окрестности функция является действительной частью этой ветви и, следовательно, гармонична в этой окрестности. Критерий (6) выполняется в точке тогда (со знаком равенства) по теореме о среднем. Если то и критерий (6) выполняется в точке тривиально . В заключение докажем одну теорему о верхнем пределе последовательности субгармонических функций, которая будет нам нужна во второй части и которая выражает свойство равномерности предельного перехода при условии равномерной ограниченности функций последовательности.

Теорема 6 (Хартогс). Если функции субгармоничны в области равномерно ограничены на каждом компактном

- подмножестве каждой точке

то для любого множества и любого найдется номер такой, что

Без ограничения общности можно считать, что функции равномерно ограничены в ибо К погружается в область на которой равномерно ограничены по условию. Можно также считать, что в ибо вместо можно рассматривать функции где верхняя грань всех

Пусть и расстояние от К до равно Для любой точки из критерия субгармоничности мы заключаем, что

Воспользуемся теперь леммой Фату, по которой для любой ограниченной последовательности измеримых на множестве функций

По этой лемме в силу (8)

следовательно, для любого найдется такое, что при всех

Пусть теперь любая точка круга где Так как круг то по свойству субгармоничности

а так как этот круг содержит нас то в силу (11)

Выбирая (при фиксированных и ) достаточно малым, получим, что для всех и всех

Пользуясь леммой Хейне — Бореля, получаем утверждение теоремы

Заметим, наконец, что наряду с субгармоническими рассматривают также супергармонические функции — двумерные аналоги функций, выпуклых вверх. Это — полунепрерывные снизу в области функции для которых для любого круга и любой функции гармонической в и непрерывной в неравенство и на влечет за собой такое же неравенство в Изучение таких функций сводится к изучению субгармонических функций, ибо для супергармоничности функции и необходимо и достаточно, чтобы функция — и была субгармонической.

Если всюду заменить гармонические функции двух (действительных) переменных такими же функциями переменных (см. п. 45), то можно рассматривать субгармонические и супергармонические функции в областях пространства

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)