ГЛАВА II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

В предыдущей главе мы уже рассматривали интегральную формулу Коши для функций нескольких комплексных переменных. Однако мы писали ее только для поликругов, и в таком виде она распространяется лишь на поликруговые области. Чтобы распространить эту формулу на области более общего вида, нужно развить соответствующий топологический и аналитический аппарат.

§ 4. Многообразия и формы

Что и по каким объектам мы будем интегрировать? Здесь мы дадим ответы на эти вопросы. Интегрировать мы будем по многообразиям некоторые комбинации произведений дифференциалов, называемые дифференциальными формами. Выясним подробнее эти понятия.

9. Понятие многообразия.

Хотя в этой главе мы будем рассматривать многообразия только в евклидовом пространстве, но в дальнейшем нам встретится более общая ситуация многообразий в некотором абстрактном пространстве элементов аналитических функций (пространственный аналог римановых поверхностей, ср. п. 32 ч. I). Поэтому мы сразу даем общее

Определение 1. Множество в хаусдорфовом пространстве X называется -мерным многообразием, если выполнены следующие условия:

1°. Существует семейство окрестностей в относительной топологии множество индексов не обязательно счетное), покрывающих и гомеоморфных -мерному евклидову шару, т. е. для всех определены гомеморфизмы

на шары переменное называется локальным параметром, действующим в окрестности

2°. Если отображение

открытого подмножества шара которое соответствует пересечению в шар В гомеоморфно; отображения (2)

называются соотношениями соседства, связывающими окрестности

3°. Из покрытия , о котором говорится в 1°, можно выделить не более чем счетное покрытие

(Приведем некоторые пояснения. Хаусдорфово пространство — это топологическое пространство, для которого справедлива аксиома отделимости (см. п. 32 ч. I). Относительной топологией на множестве топологического пространства X называется топология на в которой окрестностями объявляются пересечения с окрестностей пространства То, что в качестве образов окрестностей в условии 1° приняты шары радиуса 1, несущественно; их можно заменить любыми гомеоморфными им множествами в например самим Гомеоморфность соотношений соседства (2) очевидным образом следует из условия мы выделили это условие лишь для удобства дальнейших формулировок.)

Итак, -мерное многообразие локально устроено так же, как -мерный евклидов шар. В каждой окрестности оно описывается локальным параметром причем параметры, действующие в пересекающихся окрестностях, связаны гомеоморфными соотношениями соседства. Локальные параметры часто называют также локальными координатами.

Функции, заданные на многообразии мы можем локально рассматривать как функции параметра. Однако не всякий набор функций локальных координат определяет функцию на многообразии: мы должны потребовать независимость этих локальных функций от выбора параметра, или, иначе, их инвариантность при изменениях параметра. (Сравните: когда в физике вводят какие-либо величины как функции координат, то точно так же требуют их независимости от координат, иначе они не будут иметь физического смысла. Например, вводя понятие дивергенции или ротора векторного поля при помощи координат, дают инвариантные определения этих величин, не зависящие от выбора координат, и тем самым устанавливают, что эти величины являются физическими.)

Определение 2. Говорят, что на многообразии задана функция если в каждой окрестности задана функция локального параметра действующего в

причем это задание инвариантно относительно замены параметра: если то в части шара соответствующей

в силу гомеоморфизма пересечению имеем

Поскольку функция на -мерном многообразии в локальных координатах выражается как функция действительных переменных, мы можем говорить о ее дифференцируемости, гладкости, наличии у нее вторых частных производных и т. д. Однако если мы не налагаем на соотношения соседства (2) никаких дополнительных ограничений, то лишь свойство непрерывности функции является инвариантным, а уже свойство дифференцируемости, вообще говоря, неинвариантно. В самом деле, если какое-либо соотношение соседства (2) недифференцируемо, то функция дифференцируемая в зависимости от локальных координат может оказаться недифференцируемой в зависимости от координат

Таким образом, мы приходим к необходимости введения дополнительных ограничений на соотношения соседства.

Определение 3. Многообразие называется дифференцируемым, гладким или многообразием класса если все соотношения соседства его определяющие, соответственно дифференцируемы, непрерывно дифференцируемы или имеют непрерывные частные производные до порядка включительно.

Многообразие в смысле определения 1 можно считать многообразием класса гладкое многообразие является многообразием класса Можно ввести также понятие многообразия класса имея в виду многообразия, все соотношения соседства которых и бесконечно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные частные производные всех порядков.

На гладком многообразии можно рассматривать дифференцируемые и непрерывно дифференцируемые функции, понимая под ними функции, которые в любой окрестности дифференцируемо или непрерывно дифференцируемо зависят от соответствующего локального параметра (это свойство, очевидно, является инвариантным относительно замены параметров). Точно так же на многообразии класса О можно рассматривать функции классов а на многообразии класса функции любых классов и бесконечно дифференцируемые функции.

До сих пор мы говорили о действительных многообразиях и о дифференцируемости многообразий и функций в смысле действительных переменных. Однако в четномерном многообразии пусть размерности можно ввести комплексную структуру, если в каждой окрестности вместо

действительных координат рассматривать комплексные координаты

и гомеоморфизмы на шары в комплексном пространстве

Соотношение соседства для такого многообразия будет осуществлять гомеоморфное отображение открытого подмножества шара в шар Это отображение задается посредством функций комплексных переменных

которые можно записать при помощи одной векторной функции в виде

(у нас, следовательно, ). Наиболее интересным для нас случаем является тот, когда все являются голоморфными функциями комплексных переменных, т. е. отображения голоморфными гомеоморфизмами, или, как короче говорят, — голоморфизмами.

Определение 4. Четномерное многообразие (размерности называют комплексно аналитическим или, короче, комплексным многообразием (комплексной) размерности если в нем введена комплексная структура так, что все соотношения соседства являются голоморфизмами соответствующих открытых подмножеств шаров в шары

Очевидно, что комплексно аналитические многообразия являются многообразиями класса

Примеры.

1. Пространство является комплексно аналитическим многообразием размерности Оно покрывается одной окрестностью — самим в качестве локальных координат можно принять комплексные координаты (они действуют во всем О).

2. Комплексное проективное пространство Точками его служат классы пропорциональных наборов комплексных чисел Обозначим через множество всех точек из для которых Каждой точке из можно сопоставить чисел т. е. точку причем это соответствие является гомеоморфизмом. Аналогично определяются множества точек из для которых а также координаты отношения

к остальных и гомеоморфизмы Таким образом, покрывается конечной системой окрестностей, гомеоморфных пространству Легко проверить, что соотношения соседства, возникающие при этом, являются голоморфизмами. Следовательно, является комплексно аналитическим многообразием размерности

3. Римановы поверхности аналитических функций одного переменного являются комплексно аналитическими многообразиями размерности 1 (см. п. 32 ч. I). Для функций нескольких переменных аналогичное понятие будет рассмотрено в п. 28.

На комплексно аналитическом многообразии можно ввести понятие голоморфной функции:

Определение 5. Функция называется голоморфной на -мерном комплексно аналитическом многообразии если в каждой окрестности она представляется как голоморфная функция локального параметра действующего в этой окрестности.

Это определение инвариантно относительно замены параметров при помощи соотношений соседства, ибо голоморфизмы сохраняют свойство голоморфности.

Отметим два простых свойства функций, голоморфных на связных аналитических многообразиях.

Теорема 1 (единственности). Если две функции голоморфные на связном комплексно аналитическом многообразии совпадают на непустом открытом (в топологии подмножестве то они совпадают всюду на

Обозначим через открытое ядро совокупности всех точек в которых ; оно по условию непусто. Покажем, что является и замкнутым множеством. В самом деле, пусть точка является предельной точкой . В окрестности этой точки действует локальный параметр и функции голоморфны в точке шара В а Сто. В любой окрестности точки найдется точка такая, что и так как в некоторой окрестности то в некоторой окрестности По теореме единственности из п. 6 последнее тождество справедливо всюду в V, поэтому

Итак, непусто и одновременно замкнуто и открыто. Так как по условию связно, то отсюда следует, что т. е. всюду на

Теорема 2 (принцип максимума). Если функция f голоморфна на связном комплексно аналитическом многообразии достигает максимума во внутренней точке то постоянна всюду на

Пусть достигает максимума в точке рассмотрим локальный параметр действующий в окрестности этой точки. Модуль функции голоморфной в точке достигает максимума в этой точке; следовательно, по принципу максимума из функция постоянна в некоторой окрестности значит, постоянна в некоторой окрестности точки По предыдущей теореме постоянна на всем

Как уже говорилось в начале пункта, наиболее важен для нас случай многообразий, расположенных в евклидовом пространстве В этом случае гомеоморфизмы окрестностей -мерного многообразия и шаров пространства можно задавать при помощи функций

Впрочем, имеет место теорема Уитни, по которой произвольное дифференцируемое многообразие размерности можно реализовать как многообразие в пространстве

Определение 6. Гладкое -мерное многообразие называется -мерной поверхностью, если: 1) связно; 2) для любой координатной окрестности отображение определяемое по формулам (8), непрерывно дифференцируемо;

3) матрица имеет ранг все соотношения соседства являются непрерывно дифференцируемыми гомеоморфизмами с не обращающимися в нуль якобианами.

10. Дифференциальные формы. Функции на многообразиях можно рассматривать как формы нулевой степени. Примерами форм первой степени являются дифференциалы функций. Пусть гладкое -мерное многообразие и дифференцируемая функция на нем. В локальных координатах дифференциал этой функции имеет вид

При переходе к новым локальным координатам дифференциал преобразуется к виду где

Обобщая этот пример, мы будем называть дифференциальной формой первой степени на гладком многообразии любое выражение, которое в локальных координатах действующих в окрестности имеет вид

а при переходе к новым локальным координатам меняется так же, как дифференциал, т. е. преобразуется к виду где

От форм первой степени можно брать криволинейные интегралы (т. е. интегралы по одномерным многообразиям). Мы введем формы второй степени так, чтобы от них можно было брать интегралы по двумерным многообразиям. Мы будем задавать такие формы в локальных координатах и должны выяснить, как меняются их выражения при переходе к другим координатам.

В простейшем случае плоских областей подынтегральные выражения двойных интегралов при замене переменных ( умножаются на якобиан: форма переходит в форму Имея в виду более общие случаи, удобно ввести алгоритм умножения дифференциалов, который приводит к такому правилу замены на основании формальных выкладок. Этот алгоритм был найден Э. Картаном и называется внешним умножением дифференциалов. Мы поясним его сначала на рассматриваемом простейшем случае.

Условимся считать, что внешнее произведение одинаковых дифференциалов равно нулю: — знак внешнего умножения), а различных дифференциалов — антикоммутативно: Кроме того, будем предполагать, что для внешнего умножения соблюдаются обычные правила раскрытия скобок. Тогда умножение двух дифференциалов

формально приведет к нужному правилу замены:

Приведем теперь точное определение в более общем случае. Определение 1. Внешним умножением дифференциальных форм от переменных называется умножение, подчиняющееся следующим законам:

1°. Умножение на скаляр (функцию) коммутативно и ассоциативно:

2°. Умножение дифференциалов антикоммутативно:

3°. Умножение линейных комбинаций произведений дифференциалов (со скалярными коэффициентами) подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам.

Таким образом, внешнее произведение двух форм первой степени имеет следующий вид:

При замене переменных коэффициенты при произведении дифференциалов, как нетрудно проверить прямой выкладкой, умножаются на соответствующие якобианы. Например, при произведении будет стоять коэффициент

где штрих в обозначении суммы показывает, что суммирование надо вести по всем индексам при условии (упорядоченное суммирование).

Произведение двух форм первой степени является примером форм второй степени. Вообще же под формой второй степени на гладком многообразии мы будем понимать выражение, которое в локальных координатах имеет вид

где штрих обозначает упорядоченное суммирование а при замене координат переходит в аналогичное выражение с коэффициентами

Мы можем пользоваться и неупорядоченным суммированием (без штриха). Для этого условимся считать, что матрица (av) кососимметрична , т. е. что и тогда перепишем форму в виде

Закон изменения коэффициентов можно тогда переписать так:

— очевидно, что это равносильно соотношению (8).

Теперь мы можем дать общее определение формы. Определение 2. Дифференциальной формой степени на гладком многообразии называется выражение, которое в произвольной системе локальных координат имеет вид

а при замене переменных переходит в аналогичное выражение с коэффициентами

Форма называется формой класса если ее коэффициенты (как функции локальных параметров) имеют непрерывные частные производные порядка, — это определение

инвариантно лишь для многообразий класса определение 3 п. 9).

Дифференциальные формы можно складывать, умножать на функцию (скаляр), а также умножать друг на друга внешним образом (при этом произведение формы степени на форму степени является формой степени Совокупность всех форм степени на многообразии образует группу по сложению, которую мы будем обозначать через

До сих пор мы пользовались записью форм в действительных координатах, однако для дальнейшего удобнее комплексная форма записи. Рассмотрим случай гладкого -мерного многообразия расположенного в комплексном пространстве О. Если обозначить то эти величины на будут функциями локальных координат: Дифференциальная форма степени на многообразии М:

где векторный индекс и в этих локальных координатах принимает вид где

Чтобы переписать форму (11) в комплексном виде, мы можем формально перейти от действительных координат к такому же числу комплексных координат Для упрощения записей мы положим

и будем рассматривать переход от как обычную замену переменных.

Подставляя в перепишем эту форму в виде

где

и

Часто бывает важно различать степени формы (14) по переменным Поэтому вводят понятие бистепени формы, понимая под формой бистепени выражение вида

где векторные индексы размерности соответственно .

Наиболее важен частный случай форм бистепени коэффициенты которых являются голоморфными функциями переменных на множестве (т. е. голоморфными в -мерной окрестности этого множества). Такие формы записываются в виде

где участвуют только «малые» переменные они называются голоморфными формами.

Можно рассматривать также формы на комплексно аналитическом многообразии комплексной размерности в произвольном хаусдорфовом пространстве. Здесь также наиболее интересен случай форм бистепени которые имеют вид (16) в локальных координатах действующих в окрестности причем коэффициенты являются голоморфными функциями на и при замене переменных меняются по тензорному закону

где

Такие формы называются голоморфными формами на многообразии