34. Принцип сохранения области.

Так называется следующая важная

Теорема 1. Если голоморфна в области и не равна тождественно постоянной, то и образ также является областью.

Нужно доказать, что множество связно и открыто. Пусть две произвольные точки обозначим через один из прообразов в и соответственно через один из прообразов Так как множество D (линейно)связно, то существует путь связывающий в точки . В силу непрерывности функции образ будет путем, связывающим точки он, очевидно, состоит из точек Таким образом, множество связно.

Пусть произвольная точка один из ее прообразов в Так как открыто, то существует круг Уменьшая в случае надобности можно считать, что не содержит других -точек, кроме (так как то по теореме единственности п. 21 ее -точки

изолированы в Обозначим через границу этого круга; пусть еще

Очевидно, ибо непрерывная функция достигает на у своего минимального по модулю значения, и если бы было то на у существовала бы -точка функции вопреки нашему построению круга.

Теперь мы докажем, что . В самом деле, пусть произвольная точка этого круга, т. е. Имеем

причем на у в силу Так как у нас то по теореме Руше функция имеет внутри у столько же нулей, сколько их имеет там функция т. е. по крайней мере один нуль (точка может быть кратным нулем функции Итак, функция внутри у принимает значение т. е. Но произвольная точка круга следовательно, весь этот круг принадлежит Открытость доказана

Замечание. Как мы видели, доказательство связности множества требует лишь непрерывности функции при доказательстве открытости использованы теорема единственности и теорема Руше, которые установлены выше для голоморфных функций. Для произвольных непрерывных функций утверждение об открытости образа неверно, в чем убеждает следующий пример. Пусть тогда не является открытым множеством, ибо точки вертикального диаметра (внутренние точки этого круга) переходят в граничные точки

Можно, однако, доказать, что принцип сохранения области (так же как теорема единственности и теорема Руше, на которые он опирается) имеет топологический характер, т. е. справедлив для всех функций, топологически эквивалентных голоморфным.

Аналогичное, но несколько более внимательное рассмотрение приводит к решению задачи о локальном обращении голоморфных функций. Задача эта ставится так.

Дана голоморфная в точке функция требуется найти аналитическую в точке функцию такую, что в некоторой окрестности

При решении этой задачи следует различать два случая:

I. . Как при доказательстве принципа сохранения области, выберем круг не содержащий других -точек, кроме центра, и определим по формуле (1). Пусть любая точка круга то же рассуждение (с применением формулы (2) и теоремы Руше) показывает, что функция принимает в круге значение столько

же раз, сколько Но значение принимается в этом круге лишь в точке и притом, в силу условия однократно.

Таким образом, функция принимает в круге любое значение из круга и притом только один раз. Иными словами, функция локально однолистна в точке

В круге тем самым определена функция для которой Из однолистности следует, что при откуда, очевидно, вытекает существование в любой точке круга производной

т. е. голоморфность в этом круге.

II. . Еще раз повторим те же рассуждения, выбрав теперь круг так, чтобы в нем, кроме центра, не было ни -точек ни нулей производной (мы снова пользуемся теоремой единственности). Как и раньше, выберем возьмем любую точку из круга и убедимся в том, что принимает в круге значение столько же раз, сколько Из условий рассматриваемого случая следует, что значение принимается -кратно в точке так как у нас еще при то любое значение принимается функцией в круге различных точках. Таким образом, функция является -листной в круге

Выясним аналитический характер решения задачи о локальном обращении в этом случае. В некоторой окрестности точки имеем

где голоморфна и отлична от нуля. Отсюда следует, что

где обозначает какую-либо голоморфную в рассматриваемой окрестности ветвь корня. Эта ветвь разлагается в ряд Тейлора с центром со свободным членом, отличным от нуля, следовательно, для функции имеем Полагая еще перепишем (5) в виде

пользуясь рассмотренным выше случаем I, найдем отсюда как голоморфную функцию от Заменяя в последнем разложении получим разложение функции, обращающей в обобщенный степенной ряд:

Из него видно, что является аналитической функцией в круге и что является для нее точкой ветвления порядка (см. п. 30).

Из приведенного анализа, в частности, вытекает Теорема 2. Условие является необходимым и достаточным условием локальной однолистности голоморфной функции в точке

Замечание 1. Достаточность этого условия можно получить также из общей теоремы действительного анализа о существовании неявных функций (якобиан отображения ( отличен от нуля в рассматриваемой точке). Однако для произвольных дифференцируемых в смысле действительного анализа отображений условие не является необходимым для однолистности. Это видно из примера отображения якобиан которого равен нулю в точке и которое тем не менее однолистно.

Замечание 2. Условие локальной однолистности для всех не является достаточным для глобальной однолистности функции во всей области Это видно, скажем, из примера функции которая локально однолистна в каждой точке С, но неоднолистна в любой области, содержащей хотя бы одну пару точек таких, что , где целое число.

Мы изложили выше качественное решение задачи о локальном обращении. В заключение заметим, что методы теории аналитических функций позволяют дать и эффективное количественное решение этой задачи. Рассмотрим для простоты случай

Построим, как и выше, круги и при любом фиксированном из второго круга рассмотрим функцию

Она голоморфна в первом круге всюду, за исключением точки где обращение функции причем вычет в этой точке (полюсе первого порядка) равен Следовательно, по теореме Коши о вычетах

где

Интеграл в правой части зависит от и мы получили интегральное представление обращающей функции Из него, действуя так же, как при получении тейлоровского разложения из интеграла Коши, можно получить и разложение в степенной ряд. Имеем

причем это разложение сходится равномерно по на окружности у (у нас на у, а ). Умножая это разложение на и интегрируя почленно вдоль найдем

где

Имеем, очевидно, а при 1 можно преобразовать полученное выражение интегрированием по частям:

Подинтегральная функция имеет внутри у полюс порядка в точке находя ее вычет по известной формуле находим окончательное выражение коэффициентов:

Ряд (8) с коэффициентами (9) называется рядом Бурмана — Лагранжа. Его можно использовать для эффективного обращения голоморфных функций.

Пример. Пусть найдем обращение этой функции в точке соответствующей По формулам (9) получаем при

и ряд Бурмана — Лагранжа имеет вид

Можно указать также обобщение ряда Бурмана — Лагранжа на случай но мы на этом не останавливаемся.