§ 5. Ряды Тейлора

В этом параграфе мы, отправляясь от интегральной формулы Коши, получим представление голоморфных функций в виде сумм степенных рядов (рядов Тейлора).

Напомним известные из анализа простейшие понятия, связанные с рядами. Ряд (из комплексных чисел) 2 называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел этот предел называется суммой ряда.

Функциональный ряд функции определены на некотором множестве называется равномерно сходящимся на если он сходится в каждой точке и для любого найдется номер такой, что для всех остатки этого ряда для всех

Точно так же, как в анализе, доказывается, что ряд сходится равномерно на множестве если сходится ряд с неотрицательными членами где (последнее условие равносильно тому, что рассматриваемый ряд

мажорируется на сходящимся числовым рядом). Без всяких изменений переносятся и доказательства того, что сумма равномерно сходящегося ряда из функций, непрерывных на множестве непрерывна на этом множестве и что равномерно сходящийся на кривой или спрямляемой) ряд из непрерывных функций можно почленно интегрировать по этой кривой.

19. Ряды Тейлора.

Одной из основных в теории функций комплексного переменного является

Теорема 1. Если функция произвольная точка то в любом круге эту функцию можно представить в виде суммы сходящегося степенного ряда

Пусть — произвольная точка; выберем число так, чтобы и обозначим через окружность По интегральной формуле Коши имеем

Чтобы получить разложение в степенной ряд, разложим «ядро» этой формулы в геометрическую прогрессию по степеням :

затем умножим обе части на и проинтегрируем почленно по Так как для всех имеем

то прогрессия (2) сходится равномерно по на Равномерность сходимости не нарушится при умножении на непрерывную на следовательно, ограниченную функцию Поэтому наше почленное интегрирование законно, и, выполнив его, мы получим

где

Определение. Степенной ряд (1), коэффициенты которого определены формулами (3), называется рядом Тейлора функции с центром в точке

Из теоремы об инвариантности интеграла видно, что коэффициенты ряда Тейлора, определяемые по формуле (3), не зависят от радиуса окружности

Отметим простые следствия теоремы 1.

Неравенству Коши. Пусть функция голоморфна в замкнутом круге и на окружности ее модуль не превосходит постоянной Тогда коэффициенты ряда Тейлора с центром в удовлетворяют неравенствам

Из формул (3), учитывая, что для всех находим

Из неравенств Коши вытекает интересная

Теорема 2 (Лиувилль). Если функция голоморфна во всей плоскости С и ограничена, то она постоянна.

По теореме 1 в любом замкнутом круге функция представляется рядом Тейлора

коэффициенты которого не зависят от Так как ограничена в С (пусть ), то по неравенствам Коши для любого имеем

Здесь можно взять сколь угодно большим, поэтому при правая часть стремится к нулю при Но левая часть не зависит от поэтому для

Таким образом, два свойства функции — быть голоморфной во всей плоскости С и быть ограниченной — могут сосуществовать лишь на тривиальных функциях (постоянных).

Теорему Лиувилля можно сформулировать еще и так: Теорема 2. Если функция голоморфна во всей замкнутой плоскости С, то она постоянна.

Функция голоморфна в бесконечности, значит, существует и конечен. Отсюда следует, что ограничена в некоторой окрестности бесконечной точки. В остальной части плоскости она ограничена, как непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве. Поэтому ограничена в С, а так как она голоморфна там, то по теореме 2

Рис. 35.

Теорема 1 утверждает, что любую голоморфную в круге функцию в этом круге можно представить как сумму сходящегося степенного ряда. Мы хотим теперь доказать, что, и обратно, сумма любого сходящегося степенного ряда является голоморфной функцией. Для этого напомним некоторые свойства степенных рядов, известные читателю из курса анализа.

Лемма. Если члены степенного ряда

в некоторой точке ограничены, т. е.

то этот ряд сходится в круге и на каждом компактном подмножестве он сходится равномерно.

Можно предполагать, что т. е. иначе множество пусто. Пусть множество тогда для любой точки

(рис. 35). Поэтому для любой точки и для любого мы имеем

Но по условию следовательно, для любой ряд (5) мажорируется сходящейся геометрической прогрессией значит, сходится равномерно на К.

Второе утверждение леммы доказано, а первое следует из второго, ибо любая точка содержится в некотором круге компактно принадлежащем Теорема 3 (Абель). Если степенной ряд (5) сходится в некоторой точке то этот ряд сходится в круге и на каждом компактном подмножестве он сходится равномерно.

Так как ряд (5) сходится в точке то общий член соответствующего числового ряда стремится к нулю. Но всякая сходящаяся последовательность ограничена, поэтому выполняется условие леммы, а из леммы следуют оба утверждения теоремы

Формула Коши — Адамара. Пусть дан степенной ряд (5) и

где мы считаем Тогда в любой точке в которой ряд (5) сходится, а в любой точке в которой расходится

Верхним пределом последовательности действительных чисел называется число А такое, что: 1) существует подпоследовательность и 2) каково бы ни было найдется такой номер что для всех При этом не исключаются случаи только при условие 2) отпадает, а при число в в нем заменяется произвольным числом (в последнем случае условие 1) выполняется автоматически и существует . В анализе доказывается, что всякая последовательность имеет единственный (конечный или бесконечный) верхний предел.

Пусть для любого можно найти число такое, что при имеем следовательно,

Если то можно выбрать столь малым, что будет тогда, как видно из (8), члены ряда (5) при мажорируются членами геометрической прогрессии следовательно, ряд (5) сходится при

Из условия 1) в определении верхнего предела видно, что для любого найдется последовательность такая, что следовательно,

Если то можно выбрать столь малым, что будет тогда, как видно из (9), следовательно, общий член ряда (5) не стремится к , т. е. ряд расходится при

Доказательство в случаях предоставляется читателям

Определение. Областью сходимости степенного ряда (5) называется открытое ядро (т. е. совокупность внутренних точек) в множества тех точек , в которых сходится этот ряд.

Теорема 4. Областью сходимости степенного ряда (5) является круг , где число, определяемое по формуле Коши — Адамара

Из предыдущего утверждения следует, что множество точек сходимости ряда (5) представляет собой круг дополненный некоторым множеством точек окружности (быть может, пустым). Поэтому открытым ядром является круг

Круг (открытый), существование которого только что доказано, называется кругом сходимости степенного ряда (5), а число радиусом сходимости.

Примеры. 1. Ряды

как видно из формулы Коши — Адамара, имеют соответственно радиусы сходимости и 0. Поэтому круг сходимости первого из них есть С, второго — единичный круг а третьего — пустое множество.

2. Из той же формулы видно, что кругом сходимости всех трех рядов

является единичный круг Однако множества точек сходимости всех трех рядов различны. Ряд расходится во всех точках окружности ибо его общий член при не стремится к нулю. Ряд б) в некоторых точках окружности сходится (например, в а в некоторых

расходится (например, в ). Ряд в) сходится во всех точках этой окружности, ибо для любого он мажорируется сходящимся числовым рядом

Переходим к доказательству голоморфности суммы степенного ряда.

Теорема 5. Сумма степенного ряда

голоморфна в круге его сходимости.

Мы предполагаем, что радиус сходимости ряда ибо иначе нечего доказывать. Напишем формально производный ряд

он сходится или расходится вместе с рядом а так как

то радиус сходимости ряда (13) тоже равен На компактных подмножествах круг ряд (13) сходится равномерно, следовательно, функция непрерывна в этом круге.

По той же причине ряд (13) можно почленно интегрировать по границе любого треугольника

(по теореме Коши все интегралы в правой части равны нулю, значит, и интеграл в левой части также). Следовательно, можно применить лемму 1 из по которой функция

(мы снова воспользовались равномерной сходимостью) в каждой точке имеет производную, равную Но тогда и функция

в каждой точке имеет производную