§ 6. Интегральные представления

Теперь мы можем изучать интегральные представления голоморфных функций. Начнем с наиболее общего, справедливого для произвольных областей с гладкой границей.

16. Формулы Мартинелли — Бохнера и Лере.

Нам понадобится формула Грина для областей с гладкой границей Она выводится очень просто: обозначим

(дифференциал пропускается) и рассмотрим дифференциальную форму степени

где заданные в функции класса Дифференциал этой формы, очевидно, равен

где оператор Лапласа и Применяя формулу Стокса, мы и получим искомую формулу Грина

Для областей эту формулу удобнее писать в комплексном виде. Для этого введем, как обычно, координаты .

положим для

( пропускается) и вместо (2) рассмотрим форму

где заданные в функции класса как всегда,

Дифференциал этой формы равен

мы воспользовались тем, что - и положили Чтобы получить формулу Грина в комплексной записи:

нужно лишь воспользоваться формулой Стокса.

Формула Мартинелли — Бохнера получается из (5) так же, как интеграл Коши для гладких функций одного переменного получается из формулы Римана—Грина (см. п. 18 ч. I). Выберем в качестве фундаментальное решение уравнения Лапласа с особенностью в точке (мы предположим, что содержит эту точку). Для оно имеет вид

ибо при имеем

Теперь воспользуемся формулой Грина (5), применив ее к области (мы исключаем из окрестность точки чтобы устранить особенность функции и к функции Так как при мы имеем то эта формула запишется так:

Но на сфере имеем, очевидно, пользуясь непрерывностью функции в точке мы можем написать, что

где при . К интегралу в правой части применим формулу Стокса:

и заметим, что по свойствам внешнего произведения Поэтому

(мы воспользовались формулой для объема шара радиуса в пространстве

где гамма-функция Эйлера, и формула (7) переписывается в виде

Переходя здесь к пределу при мы получим

где

Остается переменить обозначения: вместо мы возьмем фиксированную точку а точку интегрирования на обозначим через . Тогда мы получим искомую формулу Мартинелли — Бохнера.

При эта формула переходит в интегральную формулу Коши:

и поэтому ее можно рассматривать как обобщение последней. Как и в последней, интеграл в формуле Мартинелли — Бохнера берется по всей границе области которая предполагается состоящей из одной или нескольких гладких -мерных поверхностей. Введя сокращенное обозначение для формы Мартинелли — Бохнера

мы будем записывать формулу (8) в виде

Отметим еще одно свойство формулы Мартинелли — Бохнера, которое роднит ее с интегральной формулой Коши: вне правая часть этой формулы обращается в нуль. Это утверждение следует непосредственно из формулы Грина (5), примененной к области (шар из выбрасывать теперь не нужно, ибо непрерывна в D). Таким образом, для любой функции имеем

В частности, для

где характеристическая функция области

Для тех, кто знаком с понятием обобщенных функций, укажем, что дифференциал формы Мартинелли — Бохнера (по переменным обладает свойствами -функции. В самом деле, при очевидно, а при этот дифференциал не существует. При этом для любой области содержащей точку имеем

(мы формально применили формулу Стокса), и интеграл по здесь можно заменить интегралом по всему пространству, ибо при Если формулу Мартинелли — Бохнера (10) переписать в виде

применив формально к ее правой части формулу Стокса (мы пользуемся здесь тем, что в силу голоморфности и снова заменяем интеграл по интегралом по всему пространству), мы увидим, что (13) сводится к воспроизводящему свойству -функции.

В заключение приведем общую интегральную формулу, полученную Лере и названную им формулой Коши — Фантапье. Мы излагаем простой вывод этой формулы, который нам сообщил Г. М. Хенкин. Обозначим

и рассмотрим в пространстве дифференциальную форму степени

где, как всегда, и

Эта форма имеет особенность на поверхности второго порядка а в остальных точках пространства она замкнута (всамом деле,

Непосредственно проверяется, что

и вообще

а отсюда видно, что форма зависит лишь от отношения переменных к одной из них.

В частном случае, когда все т. е. вектор-функция форма (15) совпадает с формой Мартинелли — Бохнера с особенностью в точке Поэтому, в силу доказанного выше, для любой функции голоморфной в области которая содержит точку и непрерывной в мы имеем

Вывод формулы Лере основан на том замечании, что величина интеграла в формуле (17) не изменится, если заменить в ней функцию любой другой гладкой вектор-функцией такой, что для всех

Для доказательства этого утверждения рассмотрим в пространстве два -мерных цикла Покажем, что на эти циклы можно натянуть -мерную пленку не пересекающуюся с поверхностью особенностей формы (15). Для этого, пользуясь тем, что зависит лишь от отношения переменных вне 5 заменим переменными где

Простой подсчет показывает, что

Так как по условию не пересекаются с 5, то на этих циклах Если соединить теперь точки прямолинейным отрезком то во всех точках этого отрезка также будем иметь Совокупность таких отрезков для всех и образует нужную пленку

Так как и на форма (15) замкнута, то по формуле Стокса

и наше утверждение доказано. Из него следует, что

для любой х, удовлетворяющей поставленным выше условиям.

Нам остается лишь переменить обозначения так же, как в случае формулы Мартинелли — Бохнера, и мы получим общую формулу Лере: для области с кусочно гладкой границей и любой гладкой функции такой, что на для всех любая функция голоморфная в и непрерывная в представляется интегралом

(мы пишем чтобы подчеркнуть, что выбор функции может зависеть от точки

Выбирая различным образом функции из формулы (18) можно получать различные интегральные представления. Пусть, например, дана выпуклая область

где действительная функция класса причем на границе этой области служит уравнением . В каждой точке можно взять -мерную касательную плоскость

а в ней выбрать -мерную аналитическую касательную плоскость

Выберем в качестве функции градиент по комплексным переменным , т. е. положим . В принятых условиях

не обращается в нуль при фиксированном и , пробегающем Поэтому справедливо представление (18) с такой функцией по сравнению с формулой Мартинелли — Бохнера оно имеет то преимущество, что в таком представлении ядро голоморфно зависит от параметра

Пример. Для единичного шара в С” имеем поэтому формула Лере для шара принимает вид

При она переходит в интегральную формулу Коши для единичного круга:

Замечание. Ядро формулы Лере имеет особенность в тех точках где . В случае Мартинелли — Бохнера особенность имеется лишь в точке однако в общем случае могут иметься и другие особые точки вне Поэтому в общем случае интеграл Лере не равен нулю вне области как интеграл Мартинелли — Бохнера.