2. Простейшие области.

Здесь мы опишем некоторые простейшие примеры областей в пространстве О. Под областью, как всегда, понимается открытое связное множество, причем открытость множества означает, что каждая точка принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью, а связность открытого множества означает возможность связать каждые две его точки путем где отрезок действительной оси, непрерывная функция, причем для любого точка принадлежит этому множеству.

1. Шар радиуса r с центром в точке не определяется как множество точек

Это — шар с центром а в евклидовой метрике. Границей шара служит -мерная сфера

пространстве

2. Поликруг (или полицилиндр) радиуса с центром определяется как множество точек

Это — шар с центром а в метрике Он представляет собой произведение плоских кругов радиуса с центрами в точках Можно рассматривать и более общий случай поликруга с центром а и векторным радиусом

Границей поликруга является множество всех точек, у которых хотя бы одна координата принадлежит границе круга, образующего а остальные координаты произвольно меняются в замкнутых кругах. Эта граница естественным образом разбивается на множеств

каждое из которых представляет -мерное образование (ибо координат точки связаны одним действительным соотношением Поэтому и вся граница поликруга является -мерной. Все множества пересекаются по -мерному множеству

которое называется остовом поликруга и представляет собой произведение окружностей.

Опишем подробнее бикруг радиуса 1 с центром в начале:

Это четырехмерное тело является пересечением двух цилиндров:

Граница его — трехмерное тело где также трехмерное тело, которое расслаивается в однопараметрическое семейство кругов: аналогичное тело. Остов бикруга двумерен. Это — тор в самом деле, отображение гомеоморфно преобразует на квадрат с отождествленными, как указано на рис. 75, противоположными сторонами (ибо а такое отождествление дает тор. Тор расслаивается на однопараметрические семейства окружностей (на рис. 75 изображено по одному представителю каждого семейства). Он служит пересечением

двух трехмерных цилиндров очевидно, лежит в на (трехмерной) сфере Таким образом, бикруг геометрически следует представлять так. Нужно взять в С (трехмерную) сферу и на ней выбрать тор На этот тор нужно натянуть два трехмерных тела лежащих в шаровом слое их совокуп ность и будет ограничивать бикруг.

Рис. 75.

3. Поликруговые (или полицилиндрические) области в определяются как произведения плоских областей:

(поликруги являются частными случаями таких областей). Если все односвязные области, то гомеоморфна шару. Граница поликруговой области разбивается на множеств размерности

Общей частью всех является -мерное множество

которое называется остовом поликруговой области

4. Области Рейнхарта (или -круговые области) с центром в точке определяются как области, обладающие следующим свойством: вместе с каждой точкой области

принадлежит и любая точка

Область Рейнхарта с центром в а называется полной, если вместе с каждой точкой ей принадлежат и все точки для которых

Очевидно, что шары и поликруги являются полными областями Рейнхарта. При неполными областями Рейнхарта будут кольца , а полными областями - круги

Без ограничения общности можно считать, что центр области Рейнхарта (это достигается сдвигом). Такая область вместе с каждой точкой содержит все точки с теми же и всевозможными аргументами.

Рис. 76.

Учитывая это замечание, мы можем рассмотреть отображение

2n-мерного пространства в -мерное пространство точнее, в так называемый абсолютный октант где полуось неотрицательных чисел. Это отображение а; преобразует область Рейнхарта во множество точек которое мы будем называть изображением (или диаграммой) по Рейнхарту области Если полная область Рейнхарта, то вместе с каждой точкой содержит весь прямоугольный параллелепипед

Описанная диаграмма полностью характеризует области Рейнхарта, а понижение размерности на единиц для делает это изображение наглядным. На рис. 76 и 77

изображены соответственно диаграммы Рейнхарта шара и поликруга для и 3; на втором из них показаны множества и остов

Рис. 77.

5. Области Хартогса (или полукруговые области) с плоскостью симметрии определяются как области, обладающие следующим свойством: вместе с каждой точкой области принадлежит и любая точка

Область Хартогса называется полной, если вместе с каждой точкой ей принадлежат и все точки для которых Очевидно, что области Дартогса составляют более широкий класс, чем области Рейнхарта.

Рис. 78.

Области Хартогса с плоскостью симметрии можно изображать в пространстве размерности , если воспользоваться преобразованием определяемым формулой

Для краткости письма обозначим через проекцию точки в пространство и через проекцию (т. е. совокупность всех для Изображение полной

области Хартогса вместе с каждой точкой содержит весь отрезок

Диаграмма Хартогса понижает размерность на 1 и при является вполне наглядной. На рис. 78 изображена неполная область Хартогса; следует иметь в виду, что точка на этой диаграмме изображает окружность, а вертикальный отрезок, опирающийся на круг.

Рис. 79.

На рис. 79 изображены шар из и бикруг; на рисунке хорошо видны трехмерные куски границы и остов бикруга.

6. Трубчатые (или цилиндрические) области определяются как области, обладающие следующим свойством; вместе с каждой точкой области принадлежит и любая точка Любую трубчатую область можно представить в виде произведения где В — так называемое основание области — некоторая область -мерного действительного пространства — действительное пространство точек

Таким образом, трубчатая область полностью характеризуется ее основанием В — областью -мерного действительного пространства.

Положив где х и у — действительные -мерные векторы, трубчатую область можно символически записать в виде или, подробнее, При трубчатыми областями будут, очевидно, полосы а также полуплоскости или

Заметим, что отображение преобразует трубчатую область в некоторую область Рейнхарта При этом основанию области В соответствует изображение на диаграмме Рейнхарта.

7. Полутрубчатые области составляют более широкий класс областей, чем трубчатые. Это области, которые вместе с

каждой точкой содержат все точки Иными словами, полутрубчатая область это область вида где область в -мерном пространстве Подробнее: