45. Задача Дирихле.

В ряде вопросов анализа используется задача о гармоническом продолжении функций; мы рассмотрим эту задачу в простейшей постановке.

Задача Дирихле. Задана односвязная область с жордановой границей и на задана непрерывная функция и. Требуется гармонически продолжить и в область т.е. построить непрерывную в и гармоническую в функцию, которая на совпадает с заданной

а) Единственность. Покажем, что задача Дирихле не может иметь двух различных решений. В самом деле, пусть существуют два решения и их разность гармонична в непрерывнее и равна нулю на Если максимум или минимум достигается в то по принципу экстремума а в силу непрерывности так как то в этом случае в В. Если же обе эти величины достигаются на то они равны 0 и опять в

б) Редукция к кругу. Предположим, что задача Дирихле разрешима для единичного круга и покажем, что тогда она разрешима и для любой односвязной области с жордановой границей . В самом деле, по теореме Римана существует конформное отображение непрерывно продолжаемое в по принципу соответствия границ Пусть на задана непрерывная функция зададим на значения и обозначим через гармоническое продолжение этих значений в (оно по предположению существует). Тогда функция по свойству 6 предыдущего пункта будет гармонической в она непрерывна в , а на равна и решает задачу Дирихле для

в) Решение для круга. Начнем с эвристических соображений. Пусть задача Дирихле для единичного круга и граничных значений и решена. Построим голоморфную в функцию имеющую решение этой задачи своей действительной частью, Предположим еще, что непрерывно продолжается

в тогда в любой точке по формуле Коши

Преобразуем правую часть (1) так, чтобы ее действительная часть содержала лишь известные значения на Для этого возьмем точку симметричную с относительно воспользуемся теоремой Коши

и вычтем (2) из (1). Так как и можно положить кроме того,

то будем иметь

Мы достигли поставленной цели: отделяя здесь действительные части, получим так называемую формулу Пуассона

где положено еще

Правая часть формулы Пуассона известна, если заданы значения и на покажем, что функция и, определенная в по этой формуле, решает задачу Дирихле для круга.

Прежде всего заметим, что ядро интеграла Пуассона

после несложных преобразований (с учетом того, что можно представить в виде

Поэтому функция и, определяемая интегралом Пуассона, является в действительной частью функции

голоморфной в следовательно, гармонична в Остается показать, что при z, стремящейся по точкам к произвольной точке значение стремится к

Для доказательства заметим, что для любой точки

Это следует из доказанного выше: функция единственное решение задачи Дирихле с граничными данными и она удовлетворяет условиям, в которых выведена формула Пуассона. Далее,

причем сходимость равномерна по на любой дуге не содержащей какой-либо окрестности точки это видно из формулы (4) (ее средней части).

На основании (6) разность между значением и и ее предполагаемым пределом при равна

Фиксируем пользуясь непрерывностью в точке выберем так, чтобы при было

обозначим и разобьем интеграл в (8) на интегралы по дугам Для первого из

них в силу (9) при любом имеем

(мы воспользовались положительностью ядра и равенством

Теперь положим и будем считать, что в силу (7) найдется такое, что

для всех и всех для которых (мы воспользовались равномерностью предельного перехода Поэтому для всех из области заштрихованной на рис. 74, имеем

где . Объединяя (10) и (11), получим, что для всех справедливо неравенство а это нам и нужно.

Доказана

Рис. 74.

Теорема 1. Любую функцию и, непрерывную на границе односвязной жордановой области можно единственным образом гармонически продолжить в . В частности, для единичного круга эта задача решается интегралом Пуассона (3), Заметим, что для круга интеграл Пуассона имеет вид

где это получается из доказанного простой заменой переменных.

В качестве примера применения гармонического продолжения приведем доказательство теоремы 3, сформулированной в предыдущем пункте. Пусть конечная в области функция и

в каждой точке совпадает со своими усреднениями по кругам достаточно малых радиусов

Отсюда прежде всего вытекает, что и непрерывна в каждой точке ибо при бесконечно малых разность и представляется интегралом по области бесконечно малой площади (от интегрируемой функции) и, следовательно, эта разность бесконечно мала.

Фиксируем произвольную точку и круг по теореме 1 построим функцию гармоническую в непрерывную в и равную и на Нам достаточно показать, что Так как по теореме о среднем также удовлетворяет соотношению (13) при любом то и функция удовлетворяет ему. Из этого следует, что если достигает локального максимума или минимума в какой-либо точке то она постоянна в некоторой окрестности Докажем это утверждение для максимума (в случае минимума доказательство аналогично). Пусть это не так, в круге причем существует точка в которой . В силу (13)

но в силу непрерывности существует окрестность точки которой для достаточно малого положительного а так как всюду в V, то правая часть последнего равенства строго меньше величины

полученное противоречие доказывает утверждение.

Непрерывная функция достигает в своего, максимума и минимума Если оба экстремума достигаются на где то теорема доказана. Пусть один из экстремумов, скажем максимум, достигается в тогда множество непусто. По доказанному она открыто, а так как непрерывна в то оно в то же время и замкнуто (в топологии Отсюда следует, что т. е. из непрерывности заключаем, что а так как на то опять и теорема доказана полностью.

В заключение заметим, что задача Дирихле разрешима и для пространственных областей при некоторых условиях,

наложенных на ее границу. В частности, для -мерного шара эта задача решается при помощи интеграла Пуассона

где площадь -мерной сферы элемент поверхности в точке обозначает гамма-функцию Эйлера; поэтому и при эта формула совпадает с (12), если еще заменить Формула (14) выводится из формулы Грина.