21. Теорема единственности.

Определение 1. Нулем функции называется любая точка в которой эта функция равна нулю, т. е. корень уравнения

В действительном анализе нули дифференцируемых функций могут иметь предельные точки, в которых функция остается дифференцируемой (такова, например, точка для функции . В комплексном анализе дело обстоит не так: нули голоморфной функции непременно изолированы, они могут иметь предельные точки лишь на границе области, в которой голоморфна эта функция . Этот факт выражает

Теорема 1. Если точка является нулем голоморфной в этой точке функции не равной тождественно нулю ни в

какой окрестности а, то существует такое натуральное число что

где функция голоморфна в точке а и отлична от нуля в некоторой окрестности этой точки.

В самом деле, в некоторой окрестности точки а функция разлагается в степенной ряд. Свободный член этого ряда равен нулю, ибо но все его коэффициенты не могут быть равными нулю, ибо тогда в некоторой окрестности а. Поэтому найдется отличный от нуля коэффициент с младшим номером, который мы обозначим через и разложение имеет вид

Обозначим через

сумму ряда, сходящегося в некоторой окрестности а, и поэтому голоморфную в этой окрестности. Так как то в силу непрерывности этой функции в некоторой окрестности а Теорема 2 (единственности). Если две функции совпадают на множестве которое имеет хотя бы одну предельную точку а, принадлежащую то всюду в D.

Функция нужно доказать, что т. е. что множество совпадает с Предельная точка а является нулем (в силу непрерывности последней). По теореме 1 функция в некоторой окрестности а, ибо иначе эта точка не могла быть предельной для множества нулей

Таким образом, открытое ядро множества (т. е. совокупность его внутренних точек) непусто — оно содержит точку а. По построению открыто, но оно в то же время и замкнуто (в относительной топологии области . В самом деле, если является предельной точкой то по той же теореме 1 функция в некоторой окрестности т. е. Так как по определению области связно, то по теореме 3 п. 4 имеем

Эта теорема также показывает существенное отличие понятия голоморфности функции от понятия дифференцируемости в смысле действительного анализа. В самом деле, две даже бесконечно дифференцируемые функции действительного переменного могут совпадать на части области определения, не совпадая тождественно (рис. 36), Но по доказанной теореме две

голоморфные функции, совпадающие на любом множестве, которое имеет предельную точку в области, где они голоморфны (например, на маленьком кружке или на дуге, принадлежащей области), совпадают тождественно во всей области.

Рис. 36.

Заметим еще, что, пользуясь теоремой единственности, можно несколько упростить формулировку теоремы 1. Именно, условие, что функция не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки , можно заменить условием, что она вообще не равна нулю тождественно (по теореме единственности эти условия совпадают).

Из теоремы 1 видно, что голоморфные функции обращаются в нуль, как целая степень .

Определение 2. Порядком нуля функции голоморфной в этой точке, называется номер младшей отличной от нуля производной Иными словами, точка а называется нулем порядка если в этой точке

Из формул для коэффициентов ряда Тейлора видно, что порядок нуля совпадает с номером младшего отличного от нуля коэффициента тейлоровского разложения функции в этой точке, т. е. с числом которое участвует в формулировке теоремы 1. Теорема единственности показывает, что голоморфные функции, не равные тождественно нулю, не могут иметь нулей бесконечного порядка.

Подобно тому, как это делается для многочленов, можно определить порядок нуля при помощи делимости. Именно, справедлива

Теорема 3. Порядок нуля голоморфной функции совпадает с порядком наивысшей степени на которую «делится» в том смысле, что частное — (после продолжения по непрерывности в точку а) оказывается функцией, голоморфной в точке а.

Обозначим через порядок нуля а и через наивысший порядок степени бинома на которую делится Из формулы (1) видно, что делится на любую степень

поэтому Пусть делится на частное

представляет собой функцию, голоморфную в точке а. Разлагая в ряд по степеням , мы найдем, что тейлоровское разложение с центром в точке а начинается со степени не ниже Поэтому объединяя это с полученным выше неравенством, найдем, что

Пример. Функция имеет в точке нуль третьего порядка. В самом деле, имеем но видно также из разложения

Замечание. Пусть голоморфна в бесконечности и равна там ; порядком этого нуля естественно назвать порядок нуля в точке функции Доказанная теорема останется справедливой и для точки если вместо деления на рассматривать умножение на

Понятие порядка нуля можно распространить на -точки голоморфных функций. Точка называется -точкой функции если Порядком -точки а функции голоморфной в этой точке, называется порядок а как нуля функции