§ 11. Теорема Римана

Любая голоморфная и однолистная в области функция осуществляет конформное отображение этой области, ибо по доказанному в из однолистности следует, что ни в одной точке Отображения, осуществляемые данными функциями, мы неоднократно рассматривали выше. Здесь мы рассмотрим более трудную и более важную для практических целей обратную задачу:

Даны две области и и требуется найти (однолистное) конформное отображение одной из них на другую.

36. Конформные изоморфизмы и автоморфизмы.

Определение. Конформное отображение области на будем называть еще (конформным) изоморфизмом, а области, допускающие такое отображение, — изоморфными. Изоморфизм области на себя называется (конформным) автоморфизмом.

Конформные изоморфизмы называют также голоморфными изоморфизмами или, короче, голоморфизмами.

Легко видеть, что совокупность автоморфизмов произвольной области образует группу, которая называется группой автоморфизмов этой области и обозначается символом . В качестве групповой операции принимается композиция (т. е. автоморфизм единицей служит тождественное отображение а обратным к элементом — обратное к отображение

Богатство группы автоморфизмов области позволяет судить о богатстве конформных отображений на нее другой области. Это показывает

Теорема 1. Если какой-либо фиксированный изоморфизм, то совокупность всех изоморфизмов на дается формулой

где произвольный автоморфизм области D.

Каков бы ни был автоморфизм композиция будет, очевидно, конформным отображением на . С другой стороны, пусть произвольный изоморфизм; тогда будет конформным отображением на себя, т. е. автоморфизм а из этой формулы следует (1).

Замечание. Любое конформное отображение области на устанавливает изоморфизм групп автоморфизмов этих областей. Этот изоморфизм устанавливается по формуле

В самом деле, для любого отображение очевидно, является автоморфизмом принадлежит . С другой стороны, для любого отображение взаимно однозначно преобразует на Кроме того,

т. е. сохраняет групповую операцию и, таким образом, является изоморфизмом рассматриваемых групп. Это замечание оправдывает принятое выше определение.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением односвязных областей Выделим три из них, которые будем называть каноническими: это замкнутая плоскость С, открытая плоскость С и единичный круг мы вычислили группы дробно-линейных автоморфизмов этих областей. Однако справедлива

Теорема 2. Всякий конформный автоморфизм канонической области является ее дробно-линейным автоморфизмом.

Пусть — произвольный автоморфизм существует единственная точка соответствующая бесконечной точке, поэтому функция голоморфна всюду в С, кроме точки где она имеет полюс. В окрестности полюса порядка функция неоднолистна, следовательно, имеет в полюс первого порядка. По теореме и теореме Лиувилля заключаем, что имеет вид при или при (А и В — постоянные) и, таким образом, является дробно-линейной функцией. Случай открытой плоскости С рассматривается аналогично.

Пусть произвольный автоморфизм единичного круга обозначим и построим дробно-линейный автоморфизм

круга переводящий точку в 0. Композиция также является автоморфизмом причем Так как, кроме того, для всех то к функции применима лемма Шварца из предыдущего пункта, по которой

Но и обратное отображение удовлетворяет условиям той же леммы, следовательно, для всех откуда, полагая находим, что

Таким образом, имеем для всех и по лемме Шварца заключаем, что Но тогда является дробно-линейным отображением

Учитывая результаты п. 10, мы получаем полное описание всех (конформных) автоморфизмов канонических областей.

(I) Замкнутая плоскость С:

(II) Открытая плоскость С:

(III) Единичный круг

Остановимся подробнее на автоморфизмах круга. Как видно из формулы (5), они зависят от трех действительных параметров: двух координат точки а и числа а. Покажем, что, подбирая эти параметры, можно найти один и только один автоморфизм удовлетворяющий условиям нормировки

где произвольные заданные точки и произвольное число.

В самом деле, построим автоморфизмы и тогда автоморфизм определяемый из уравнения т. е.

будет удовлетворять условиям (6). Пусть еще какой-либо автоморфизм, удовлетворяющий тем же условиям. Тогда автоморфизм будет, очевидно, удовлетворять условиям откуда по лемме Шварца (как и при доказательстве теоремы 2) заключаем, что т. е. что тождественное отображение. Таким образом, откуда

По сделанному выше замечанию группа автоморфизмов любой области изоморфной единичному кругу изоморфна группе т. е. тоже зависит от трех действительных параметров. Учитывая теорему 1, можно ожидать, что и изоморфизмы двух областей, изоморфных также образуют трехпараметрическое семейство. И в самом деле, справедлива

Теорема 3. Если области изоморфны единичному кругу, то совокупность конформных отображений на зависит от трех действительных параметров. В частности, существует одно и только одно отображение нормированное условиями

где произвольно заданные точки и произвольное число.

Пусть конформные отображения, устанавливающие изоморфизм данных областей единичному кругу. Тогда

будет, очевидно, конформным отображением на По теореме 1 совокупность всех таких отображений задается формулой где произвольный автоморфизм области Но, как мы видели, зависит от трех действительных параметров. Первое утверждение теоремы доказано.

Пусть построим по формуле (7) автоморфизм X единичного круга, нормированный условиями

Тогда

является изоморфизмом на и удовлетворяет условиям (8). В самом деле, Существование нормированного изоморфизма доказано.

Пусть существует еще изоморфизм нормированный теми же условиями. Тогда будет автоморфизмом нормированным условиями автоморфизмом нормированным условиями По доказанному выше (тождественное отображение), следовательно, и Таким образом,

Легко видеть, что различные канонические области не изоморфны друг другу. В самом деле, замкнутая плоскость (сфера) С даже не гомеоморфна , а следовательно, ее, нельзя и конформно отобразить на эти области. Области гомеоморфны, но конформного отображения, скажем С на не

ществует, ибо такое отображение должно осуществляться целой функцией для которой всюду , а тогда по теореме Лиувилля .

Область, граница которой — пустое множество, совпадает с

С. Области, границы которых состоят из одной точки, представляют собой плоскость С с выброшенной точкой и, очевидно, конформно (даже дробно-линейно) изоморфны С. Основной результат этого параграфа — теорема Римана состоит в том, что любая односвязная область граница которой содержит более одной точки (и, следовательно, бесконечно много точек, ибо она связна), изоморфна единичному кругу

Для доказательства этой теоремы нам нужно развить некоторый аппарат, полезный и в других вопросах теории функций.