26. Псевдовыпуклые области.

Выпуклыми называются такие области которые вместе с любыми точками содержат также и все точки где Существует и эквивалентное определение: область называется выпуклой, если функция где евклидово расстояние точки х до границы области, является выпуклой в

Мы придем к понятию псевдовыпуклой области, если вместо действительной структуры будем рассматривать комплексную:

Определение. Область называется псевдовыпуклой, если функция

где евклидово расстояние точки до границы плюрисубгармонична в D.

Заметим прежде всего, что на плоскости С любая область псевдовыпукла. В самом деле, для утверждение тривиально (ибо здесь Для утверждение проверяется простым подсчетом (здесь Если же граница области состоит более чем из одной точки, то функция

и, следовательно, субгармонична, как верхняя огибающая субгармонических функций (см. теорему 4 п. 46 ч. I; в этой теореме предполагается, что верхняя огибающая полунепрерывна сверху, но у нас непрерывна, ибо в силу неравенства треугольника она даже удовлетворяет условию Липшица, и не обращается в нуль ни в одной точке

При как мы скоро убедимся, не всякая область псевдовыпукла: псевдовыпуклость оказывается эквивалентной выпуклости в смысле Леви. Для доказательства установим сначала важный вспомогательный результат.

Теорема 1. Для любого ряда Хартогса

функция радиус Хартогса, является плюрисубгармонической в области

Без ограничения общности положим кроме того, для простоты письма будем опускать штрих в обозначении так что

а) Докажем, что функция полунепрерывна снизу в области Предполагая противное, допустим, что в какой-либо точке

Пусть сначала Тогда для достаточно малого существует последовательность точек такая, что

По определению радиуса Хартогса отсюда следует существование последовательности точек , в каждую из которых функция определяемая рядом (2), не продолжается голоморфно. В силу (3) последовательность ограничена, и из нее можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке Точка — предельная для точек , в которые не продолжается голоморфно, следовательно, не продолжается и в эту точку. Но по определению радиуса Хартогса продолжается в любую точку для которой Противоречие доказывает утверждение.

Случай приводится к противоречию аналогично.

б) Согласно а) функция полунепрерывна сверху в Поэтому остается доказать, что сужение этой функции на любую аналитическую прямую где является субгармонической функцией в окрестности точки Пусть это не так, тогда существует такая аналитическая прямая что функция

не субгармонична в окрестности Тогда существует круг и функция непрерывная в и гармоническая в такая, что на но в некоторой точке

(мы воспользовались тем, что полунепрерывная снизу функция и достигает своей нижней грани на компакте).

Обозначим через функцию, гармоническую в и непрерывную в имеем

По свойству радиуса Хартогса существует точка в которую функция (2) при фиксированном не продолжается голоморфно. Построим голоморфную в функцию так, чтобы совпадало с каким-нибудь значением (это можно сделать, ибо у нас

Теперь выберем круг так, чтобы на было (это можно сделать в силу (5) и полунепрерывности сверху функции и рассмотрим семейство компактных в смысле аналитических кривых

Для любого кривая где ибо для всех в силу (5) имеем Далее, очевидно, что при и что ибо на имеем строгое неравенство равносильное неравенству

Таким образом, применим принцип непрерывности по которому функция (2) голоморфно продолжается на Но содержит точку в которую, как мы видели, эта функция непродолжаема.

Противоречие доказывает утверждение

Связь доказанной теоремы с выпуклостью в смысле Леви выясняется следующим образом. Для произвольной области назовем радиусом Хартогса в точке радиус наибольшего круга с центром лежащего на пересечении с аналитической прямой

Лемма. Для любой -выпуклой области функция где радиус Хартогса в точке плюрисубгармонична в

Для произвольной области радиус Хартогса полунепрерывен снизу, а функция полунепрерывна сверху в . В самом деле, пусть и тогда круг и мы обозначим Из рис. 108 ясно, что для любой точки

имеем Таким образом, множество верхних значений открыто для любого а

Остается доказать, что для -выпуклых областей сужение функции на любую аналитическую прямую

где является субгармонической функцией в окрестности точки Если т. е. параллельна оси то мы имеем ситуацию плоского случая: , и, следовательно, функция

субгармонична, как полунепрерывная сверху верхняя огибающая субгармонических функций.

Рис. 108,

Если же т. е. не параллельна оси то мы должны повторить рассуждения, проведенные во второй части доказательства теоремы 1. Как и там, лредполагая, что функция — не субгармонична, мы найдем точку а для которой и построим семейство компактных аналитических кривых

где , а остальные обозначения те же, что в (6). При кривые , а при они сходятся к кривой 5], граница которой и которая содержит точку (соответствующую значению параметра Но это противоречит -выпуклости области

Теорема 2. Любая выпуклая в смысле Леви область является псевд о выпуклой.

Функция всегда конечна (кроме тривиального случая и непрерывна, ибо в силу неравенства треугольника она удовлетворяет условию Липшица. Так как она положительна в то и функция непрерывна в

Рассмотрим всевозможные аналитические повороты

где квадратная матрица порядка, второй член справа понимается как произведение матрицы С на вектор и матрица такова, что евклидовы расстояния между любыми двумя точками при отображении (9) сохраняются. Таким поворотом направление любой аналитической прямой можно перевести в направление, параллельное оси Обозначим через величину радиуса Хартогса области соответствующего направлению а:

Мы имеем, очевидно, для любого

где нижняя грань берется по всем векторам Если область -выпукла, то по лемме для любого фиксированного и функция — плюрисубгармонична, и, следовательно, функция — как непрерывная верхняя огибающая плюрисубгармонических функций, также плюрисубгармонична в

Теорема 3. Любая псевдовыпуклая область является выпуклой в смысле Леви.

Пусть, от противного, не является -выпуклой. Тогда найдется такая последовательность компактных аналитических поверхностей что причем а содержит точку . В силу непрерывности евклидова расстояния имеем

С другой стороны, так как функция плюрисубгармонична, то для нее справедлив принцип максимума (см. следствие теоремы 5 предыдущего пункта), по которому для любого

Отсюда а так как следовательно, для всех и некоторого Но тогда из (10) мы получаем, что а это противоречит тому, что содержит точку

Таким образом, понятия -выпуклости и псевдовыпуклости действительно оказались эквивалентными.

В заключение этого параграфа приведем сводку условий, характеризующих области голоморфности в

Теорема 4. Эквивалентны следующие пять условий:

(I) D - область голоморфности (т. е. существует функция , не продолжаемая голоморфно в более широкую область, см. п. 20);

(II) D не расширяема голоморфно в каждой граничной точке (т. е. для любой точки существует окрестность и функция не продолжаемая голоморфно в точку , см. п. 24);

(III) D голоморфно выпукла (т. е. для любого множества голоморфно выпуклая оболочка для всех см. п. 21);

(IV) D псевдовыпукла (т. е. функция — является плюрисубгармонической в см. п. 26);

(V) D выпукла в смысле Леви (т. е. не существует последовательности компактных аналитических поверхностей таких, что содержит точку см. п. 24).

Выше были доказаны импликации, изображенные сплошными стрелками на схеме

(импликация (I) тривиальна, импликации составляют содержание теоремы теоремы 1 п. 24, (IV) (V) — теорем 2 и 3 этого пункта).

Изображенная пунктирной стрелкой импликация составляет содержание теоремы Ока, решающей проблему Леви, о которой мы говорили в п. 24; эта теорема будет доказана в гл. IV. Пользуясь теоремой Ока, мы докажем сейчас, что и это замкнет цепочку эквивалентностей.

Итак, пусть для некоторой области функция

плюрисубгармонична в По теореме построим последовательность функций плюрисубгармонических класса в открытых множествах причем образуют возрастающую последовательность, аппроксимирующую область изнутри.

Так как функция при то для любого можно найти номер такой, что множество

Будем считать, что функция тогда множества также образуют возрастающую последовательность, аппроксимирующую изнутри. Положим, наконец,

Очевидно, и простой подсчет показывает, что для любого

В силу плюрисубгармоничности функций сумма в правой части неотрицательна, откуда следует, что

т. е. что функции строго плюрисубгармоничны. По теореме Леви — Кшоски п. 24 отсюда вытекает, что открытое множество

не расширяемо голоморфно в каждой своей граничной точке (см. пункт а) доказательства этой теоремы).

Из этого по теореме Ока следует, что каждая связная компонента множества является областью голоморфности. Но при фиксированном и растущем величина уменьшается, причем Отсюда видно, что существует возрастающая последовательность компонент аппроксимирующая изнутри. По теореме 2 п. 22 отсюда можно заключить, что является областью голоморфности