27. Продолжение вдоль пути.

Для простоты дальнейших рассуждений мы несколько конкретизируем понятие элемента.

Определение 1. Каноническим элементом с центром в точке называется пара , где сумма сходящегося степенного ряда с центром в а и круг сходимости этого ряда. Мы будем называть кругом сходимости элемента и обозначать через радиус этого круга, если или радиус его дополнения, если

Если то круг сходимости элемента а имеет вид где а функция

если

Определения непосредственного аналитического продолжения и аналитического продолжения для канонических элементов несколько упрощаются, ибо их области (круги) пересекаются по связным множествам и поэтому не надо оговаривать, через какие компоненты пересечений производится продолжение.

Если канонический элемент является непосредственным аналитическим продолжением элемента кроме того, то такое продолжение сводится просто к переразложению суммы степенного ряда в ряд по степеням

Рис. 45.

Заметим еще, что если два канонических элемента а и являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга, то их круги сходимости не могут компактно принадлежать один другому (если, например, то голоморфна в большем, чем круге с центром следовательно, не может быть кругом сходимости). Поэтому окружности должны иметь хотя бы одну общую точку, и из треугольника, изображенного на рис. 45 (только теперь не обязательно мы заключаем, что

Теперь мы займемся понятием аналитического продолжения вдоль пути. Без ограничения общности будем предполагать, что для всех рассматриваемых здесь путей параметр меняется на отрезке

Определение 2. Говорят, что канонический элемент продолжаем вдоль пути с началом в центре этого элемента, если существует семейство элементов

с центрами и ненулевыми радиусами сходимости, удовлетворяющее следующему условию. Если обозначает такую связную окрестность точки что для всех (эта окрестность существует в силу непрерывности пути), то для любого элемент является непосредственным аналитическим продолжением (рис. 46).

Рис. 46.

Если элемент продолжаем вдоль у, то говорят, что элемент 1 семейства (5) (с центром в конце пути) получается из аналитическим продолжением вдоль пути у.

Прежде всего докажем единственность продолжения вдоль пути. Для этого условимся считать два канонических элемента равными если и в этом круге

Теорема 1. Если канонический элемент продолжаем вдоль пути то в результате его аналитического продолжения вдоль этого пути получается вполне определенный элемент, не зависящий от выбора семейства, осуществляющего продолжение.

Пусть у задается уравнением а элементы и получаются продолжением вдоль первый при помощи семейства элементов а второй — семейства Рассмотрим множество

оно непусто, ибо содержит точку

Это множество открыто (в топологии ). В самом деле, пусть т. е. в силу непрерывности пути найдется окрестность такая, что для всех точка принадлежит общему кругу сходимости элементов По определению 2 для всех получаются непосредственным аналитическим продолжением равных элементов следовательно, совпадают (см. формулу (3)). Поэтому .

Но в то же время и замкнуто. В самом деле, пусть предельная точка такая окрестность, что для всех точки принадлежат меньшему из кругов сходимости элементов и (обозначим его через W). В найдется точка и в ней Так как то и являются непосредственными аналитическими продолжениями равных элементов и Поэтому в пересечении с кругом сходимости но тогда по теореме единственности всюду в следовательно, т. е.

Итак, непустое подмножество является одновременно открытым и замкнутым. Отсюда следует что и, в частности, что

Теперь мы хотим доказать, что продолжение вдоль пути всегда можно осуществить в конечное число приемов, т. е. как аналитическое продолжение в смысле предыдущего пункта.

Лемма. Радиус элемента из семейства (5), осуществляющего аналитическое продолжение вдоль пути у. является непрерывной функцией от на отрезке если круги сходимости всех компактны.

Для любого найдем окрестность и такую, что при элемент является непосредственным продолжением (см. определение 2). Из неравенства (4) получаем тогда, что

Это неравенство доказывает непрерывность в точке

Теорема 2. Если элемент получается из аналитическим продолжением вдоль пути у, то является аналитическим продолжением в смысле п. 26.

Рис. 47.

Пусть семейство элементов, осуществляющих продолжение вдоль у. По лемме радиус элемента непрерывен на следовательно, существует такое, что для всех . В силу равномерной непрерывности функции на можно выбрать конечное число точек так, чтобы точки для удовлетворяли неравенству По определению 2 отсюда следует, что элемент является непосредственным аналитическим продолжением элемента следовательно, является аналитическим продолжением элемента

Пример. Рассмотрим в круге функцию

Как мы видели в предыдущем пункте, в каждой точке существует следовательно, голоморфна при Отсюда видно, что пара составляет канонический элемент.

Чтобы получить аналитическое продолжение вдоль пути (верхняя полуокружность , рис. 47), нет необходимости, как сказано в определении, получать тейлоровское разложение в круге и затем переразлагать его по степеням при всевозможных По теоремам 1

и 2 достаточно рассмотреть круг и построить аналитическое продолжение по цепочке кругов где Но такое продолжение можно осуществить, как в п. 26, непосредственно по формуле (6), расширяя область изменения в этой формуле: для V — на отрезок и для V — на отрезок . В круге V мы получим голоморфную функцию

и пара составляет элемент, который и является искомым продолжением вдоль пути . В частности, на отрицательном диаметре круга V имеем следовательно,

где .

Аналогично при помощи цепочки кругов где осуществляется аналитическое продолжение вдоль пути (см. рис. 47). Это продолжение заключается в том, что мы последовательно заменяем в формуле (6) область изменения отрезками и В результате мы получаем голоморфную в круге

V функцию

и пара составляет элемент, который является продолжением 3 вдоль пути

Элемент не равен элементу хотя круги их сходимости одинаковы, но функции отличаются, ибо, например, на отрицательном диаметре V мы теперь имеем следовательно, вместо (8) получаем

где опять — Нетрудно видеть, что для всех

Заметим, что при построении наших продолжений мы не пользовались тейлоровским разложением элемента При желании его можно получить, например, из следующих соображений На положительном диаметре круга имеем следовательно, где . В анализе доказывается,

что эта действительная функция раскладывается в биномиальный ряд

сходящийся на всем диаметре (0,2) (здесь и последний множитель равен 2, если четное, и 1, если нечетное). По теореме Абеля ряд (11) сходится и для комплексных в круге следовательно, представляет голоморфную в функцию На диаметре (0,2) эта функция совпадает с а по теореме единственности отсюда следует, что она совпадает с всюду в Таким образом, всюду в

Можно написать и тейлоровские разложения функций в круге они имеют вид

В заключение докажем теорему об инвариантности аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути.

Теорема 3. Пусть пути гомотопны, как пути с общими концами, и элемент продолжаем, вдоль любого пути осуществляющего гомотопию Тогда результаты продолжения 3 вдоль путей совпадают.

Пусть функция, осуществляющая гомотопию (см. п. 16), так что Обозначим через результат аналитического продолжения элемента вдоль пути и рассмотрим множество

Оно непусто, ибо содержит точку Пусть по лемме существует такое, что радиусы элементов осуществляющих продолжение вдоль не меньше для всех . В силу равномерной непрерывности функции найдется окрестность такая, что для всех и всех

По теореме 2 выберем так, чтобы точки для всех удовлетворяли неравенству

и элементы и (мы обозначаем являлись непосредственными аналитическими продолжениями друг друга.

Обозначим еще и заметим, что при в силу (14) и (15)

Рис. 48.

Элементы и являются непосредственными аналитическими продолжениями элемента следовательно, друг друга пользуемся тем, что у нас Точно так же мы докажем, что и элементы и являются аналитическими продолжениями друг друга Но элементы имеют к тому же общий центр и поэтому совпадают. Так как то следовательно, и , т. е. Мы доказали, что вместе с , т. е. что — открытое множество.

Но в то же время является и замкнутым множеством. В самом деле, пусть предельная точка построим окрестность такую же, как выше.

Рис. 49.

В ней найдется точка так что продолжение вдоль приводит к элементу По тем же соображениям, что и выше, продолжения вдоль путей приводят к равным элементам, следовательно,

Таким образом, (см. п. 4) и, в частности,

Замечание. Если хотя бы вдоль одного из путей осуществляющих гомотопию элемент непродолжаем, то результаты его продолжения вдоль могут оказаться различными. В самом деле, рассмотрим полуокружности из разобранного выше примера. Они, очевидно, гомотопны и их

гомотопию можно осуществить при помощи дуг окружностей проходящих через точки ±1 (рис. 49). Пусть для определенности уч, обозначает прямолинейный отрезок [1, —1].

Элемент из упомянутого примера можно описанным выше приемом аналитически продолжить вдоль любой дуги Продолжение вдоль невозможно, ибо, как мы видели, при , а отрезок содержит точку Этого оказывается достаточным для того, чтобы продолжения вдоль приводили к различным элементам (см. упомянутый пример).