33. Применения. Вторая проблема Кузена.

Здесь мы хотим привести примеры задач, приводящихся к аддитивной проблеме Кузена. Начнем с одной теоремы о продолжении. Чтобы ее сформулировать, условимся называть голоморфную функцию определяющей функцией комплексно -мерного множества в некоторой области если, во-первых, во-вторых, если какая-либо функция обращается в 0 на то она представляется в виде где Последнее условие выражает некоторого. рода минимальность определяющей функции (так, для плоскости функция является определяющей, а — нет); определяющая функция, конечно, не единственна, но если две определяющие функции одного множества то их отношение голоморфная в и отличная от нуля функция. Чтобы формулировка теоремы о продолжении имела общий характер, мы воспользуемся высказанным без доказательства в конце предыдущего пункта утверждением о том, что аддитивная проблема Кузена разрешима для любой области голоморфности.

Теорема Пусть произвольная область голоморфности и аналитическое множество, определяющая функция которого Тогда любую функцию локально голоморфную на можно продолжить до функции голоморфной во всей, области

Локальная голоморфность функции на означает, что для каждой точки найдется окрестность такая, что продолжается в ней до функции Учитывая это, мы можем рассмотреть такое открытое покрытие области что в каждой существует голоморфная функция совпадающая с в пересечении

если пусто, то мы положим . В любом пересечении разность обращается, следовательно, в нуль на и по свойству определяющей функции в этом пересечении где Мы примем мероморфные

функции за данные Кузена для покрытия очевидно, согласованы), и тогда

будут образовывать голоморфный коцикл, т. е. удовлетворять условиям (2) и (3) предыдущего пункта. Так как область голоморфности, то эта проблема Кузена разрешима, и, значит, существуют функции такие, что в любом Подставляя сюда значение из (2), найдем, что в каждом Отсюда видно, что в области определяется голоморфная функция равная в каждой окрестности Но так как то, пользуясь еще соотношением (1), мы найдем, что

Таким образом, действительно является искомым продолжением функции

Теорема 1 позволяет получить разложение Хефера, которое мы без доказательства применяли в п. 18 при выводе интегральной формулы Вейля. В основе лежит следующая

Лемма. Пусть область голоморфности и -мерная аналитическая плоскость имеет с ней непустое пересечение. Тогда любая функция равная нулю на допускает в представление

где .

Доказательство будем вести индукцией по При утверждение очевидно, ибо в качестве можно принять функцию пусть оно верно для Обозначим все связные компоненты этого пересечения являются, очевидно, областями голоморфности в пространстве переменных Сужение и по условию обращается в нуль на Отсюда, согласно индуктивному предположению, вытекает, что в имеет место представление

где все По теореме 1 все продолжаются с во всю область до голоморфных функций

Рассмотрим теперь разность

очевидно, и, по свойству определяющих функций, найдется такая, что для всех Отсюда видно, что представление (3) справедливо и для Из этой леммы совсем просто выводится Теорема 2 (Хефер). Пусть область голоморфности и произвольная функция. Существуют такие функции что для всех , справедливо представление

Разность и так как область голоморфности в а эта разность обращается в нуль на -мерной аналитической плоскости то, положив мы можем применить к рассматриваемой разности лемму. Получим нужное разложение (4)

В качестве следующего примера задачи, приводящейся к аддитивной проблеме Кузена, мы рассмотрим один простой случай разрешимости так называемой мультипликативной или второй проблемы Кузена. Если первая проблема представляет собой пространственный аналог теоремы Миттаг-Леффлера, то эта проблема является таким же аналогом теоремы Вейерштрасса о существовании голоморфных функций с заданными нулями. Вот ее постановка:

Проблема Кузена II (мультипликативная). Дано открытое покрытие а области на аналитическом многообразии и в каждой голоморфная функция при этом ни одна и выполняется следующее условие согласованности:

В любом пересечении частное является голоморфной функцией.

Требуется построить голоморфную в функцию так, чтобы в каждой частное было голоморфной функцией, не обращающейся в нуль.

Замечание. Из условия согласованности следует, что частное ибо там вместе с голоморфно и частное

Имея данные второй проблемы Кузена для рассматриваемого покрытия мы можем в каждом пересечении рассмотреть функции

голоморфные и отличные от нуля в силу условия согласованности. Эти функции в каждом удовлетворяют условию

а в каждом условию

Мы видим, что эти условия представляют собой мультипликативный аналог условий (2) и (3) п. 31, имеющих аддитивный характер. Как и в п. 31, просто проверить, что разрешимость проблемы сводится к построению функций голоморфных и отличных от нуля в окрестностях таких, что

в каждом пересечении

Возникает естественное желание свести вторую проблему Кузена к первой при помощи логарифмирования. Так как функции голоморфны и отличны от нуля, то, предполагая, что пересечения односвязны мы можем в каждом из них выбрать некоторую голоморфную ветвь и притом, в силу условия (6), так, что

Из (7) мы тогда получим, что в пересечениях

где некоторые целые числа. Если все эти числа равны нулю, мы приходим к первой проблеме Кузена и, решив ее, получим решение второй проблемы. Однако, вообще говоря, это не так, и на область кроме условия разрешимости первой проблемы Кузена, надо наложить еще некоторые топологические ограничения, которые должны обеспечить

возможность выбора таких ветвей чтобы все оказались равными нулю.

Об этих ограничениях мы будем говорить в следующем параграфе. Здесь же приведем лишь простую теорему, в которой топологические трудности снимаются условием существования глобальной (т. е. определенной во всей области функции решающей проблему, но не обязательно голоморфной, а лишь непрерывной.

Теорема 3. Пусть для области разрешима первая проблема Кузена и данные второй проблемы для покрытия таковы, что существует непрерывная в функция для которой все частные непрерывны и отличны от нуля в Тогда проблема разрешима.

Предположим сначала, что все односвязны. Тогда в каждой можно выбрать непрерывную ветвь Мы выбираем эти ветви произвольно, а затем в каждом пересечении полагаем

где и в правой части взяты выбранные ветви. Функции голоморфны в и удовлетворяют, очевидно, условиям

(т. е. образуют голоморфный коцикл). По условию первая проблема Кузена разрешима и существуют голоморфные в функции такие, что

в каждом пересечении Полагая для каждого мы получаем голоморфные в и отличные от нуля функции и из соотношения (9) находим, что в любом Это равносильно решению второй проблемы Кузена.

Общий случай, когда не все односвязны, приводится к разобранному при помощи измельчения покрытия. Разобьем каждую окрестность на односвязные области и положим в каждом По условию все частные непрерывны и отличны от нуля. Если теперь положить в каждом пересечении то функции будут

удовлетворять условиям (6) и (7). Мы находимся в условиях уже разобранного случая. По доказанному существует голоморфная в функция f такая, что все частные голоморфны и отличны от нуля в . Но так как и эти покрывают то решает вторую проблему и для покрытия

Доказанная теорема позволяет усилить теорему 1 о продолжении. В этой теореме предполагается, что множество определяется функцией голоморфной в области Оказывается, можно требовать меньшего: лишь непрерывности в О и ее локальной голоморфности в точках и это требование равносильно предыдущему. В самом деле, справедливо

Следствие. Пусть область голоморфности и аналитическое множество комплексной размерности Если существует непрерывная в функция определяющая то существует и определяющая его функция голоморфная в

Рассмотрим открытое покрытие области столь мелкое, что в каждой пересечение имеет голоморфную определяющую функцию (это следует из определения аналитического множества); в тех которые не пересекаются с положим Такой выбор если учесть еще свойство определяющих функций, обеспечивает голоморфность всех отношений в пересечениях Поэтому набор можно принять за данные второй проблемы Кузена. Наконец, так как и обе определяют в то все частные непрерывны и отличны от нуля в По теореме 3 рассматриваемая проблема разрешима, и ее решение обладает нужными свойствами

Замечание. В этом следствии условие существования функции не является необходимым: оно вызвано тем, что мы пользуемся в доказательстве теоремой 3. Очевидно, его можно опустить, если известно, что в области разрешима вторая проблема Кузена. В такой области, следовательно, всякое комплексно -мерное аналитическое множество имеет глобальную определяющую голоморфную функцию. Если же в этой области разрешима и первая проблема Кузена, то по теореме 1 всякая функция, локально голоморфная на оказывается и глобально голоморфной во всей области. Подчеркнем, что это свойство может не иметь места, если не является аналитическим множеством: пример такого рода был приведен в