18. Интегральная формула Коши.

Здесь мы получим представление функций, голоморфных в компактной области, при помощи интеграла по границе этой области. Такое представление, как мы увидим, находит важные применения как в теоретических, так и практических вопросах.

Теорема 1. Пусть компактно принадлежащая область, ограниченная конечным числом (непрерывных) кривых. Тогда в любой точке функция представима в виде

где ориентированная граница (см. стр. 87).

Величина в правой части этой формулы называется интегралом Коши.

Возьмем таким, чтобы круг и обозначим Функция голоморфна как частное двух голоморфных функций со знаменателем, отличным от нуля. По теореме 1 предыдущего пункта (она применима, ибо голоморфна в некоторой области, компактно содержащей имеем

где окружность ориентирована против часовой стрелки.

Таким образом,

где число можно считать сколь угодно малым. Так как функция непрерывна в точке то для любого можно выбрать число столь малым, что при

Поэтому разность

по абсолютной величине не превосходит следовательно, стремится к нулю при Но, как видно из (2), левая часть (3) не зависит от следовательно, она равна нулю при всех достаточно малых т. е.

Отсюда и из (2) следует формула (1)

Замечание 1. Если в условиях теоремы 1 точка лежит вне то

Это утверждение следует непосредственно из теоремы Коши, ибо здесь функция голоморфна в

Замечание 2. Если вместо теоремы 1 предыдущего пункта мы используем теорему 2, то получим такую теорему:

Теорема 1. Если функция голоморфна в компактной области ограниченной конечным числом спрямляемых кривых, и непрерывна в то

где ориентированная граница

Интегральная формула Коши выражает весьма интересный факт: значения голоморфной в области функции полностью определяются ее значениями на границе. (В самом деле, если значения на известны, то известна и вся правая часть формулы (1), т. е. известно значение в любой точке Этот факт принципиально отличает голоморфные функции от функций, дифференцируемых в смысле действительного анализа.

Из теоремы 1 просто вытекает

Теорема 2 (о среднем). Значение функции в каждой конечной точке равно среднему арифметическому

ее значений на любой достаточно малой окружности с центром в z:

Возьмем круг такой, что и примем его в качестве области из теоремы 1. По интегральной формуле Коши получим

а так как на имеем то (7) сводится к (6)

Теорема о среднем показывает, что голоморфные функции, описательно говоря, очень правильно устроены и что их значения тесно связаны с соседними значениями. Это объясняет наличие у таких функций целого ряда специфических свойств, которых нет у функций, дифференцируемых в смысле действительного анализа. Многие такие свойства мы рассмотрим в дальнейшем.

В заключение приведем формулу интегрального представления функций, дифференцируемых в смысле действительного анализа, которая обобщает интегральную формулу Коши.

Теорема 3. Пусть функция принадлежит классу в замыкании компактной области ограниченной конечным числом спрямляемых кривых. Тогда в каждой точке

Эту формулу мы будем называть формулой Коши — Грина; если то двойной интеграл в ней исчезает, и мы получаем формулу Коши.

Исключим из малый круг и к функции принадлежащей классу в области применим формулу Грина в комплексной записи (см. формулу (9) п. 16):

Так как непрерывна в точке то для где при Поэтому

и последняя формула при дает (8)