ГЛАВА VI. ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

В этой главе мы рассмотрим основные факты, связанные с голоморфными гомеоморфизмами пространственных областей. Заметим сразу, что система Коши-Римана, которая выражает условия голоморфности системы функций комплексных переменных действительных уравнений с действительными функциями), при переопределена. Это порождает существенные отличия пространственной теории от плоской. В частности, в пространстве не имеет места аналог теоремы Римана о существовании конформного отображения одной заданной области на другую: даже такие простейшие области, как шар и бикруг, в оказываются неотобразимыми друг на друга!

Мы рассмотрим два подхода к теории отображений — алгебраический, связанный с изучением групп автоморфизмов отображаемых областей, и аналитический, связанный с так называемой кернфункцией.

§ 16. Автоморфизмы простейших областей

Под изоморфизмом двух областей мы будем понимать гомеоморфное отображение области на осуществляемое системой голоморфных в функций Такие отображения называются еще биголоморфными или голоморфизмами (голоморфными гомеоморфизмами). Изоморфизм области на себя называется автоморфизмом.

Автоморфизмы области очевидно, образуют группу, если под групповой операцией понимать композицию (последовательное выполнение) автоморфизмов. Как и в п. 36 ч. I, доказывается, что любой изоморфизм устанавливает изоморфизм групп автоморфизмов отображаемых областей. Таким образом получается необходимое условие существования биголоморфного отображения одной области на другую — изоморфность их групп автоморфизмов.

На плоскости существует лишь три типа не изоморфных друг другу односвязных областей: замкнутая плоскость открытая плоскость С и области, изоморфные единичному кругу . В пространстве ситуация значительно сложнее.

Мы рассмотрим здесь лишь простейшие факты, связанные с этими вопросами.

48. Общие теоремы.

Начнем с простых теорем об отображениях пространственных областей. Первые две из них представляют своего рода теоремы единственности — они утверждают, что в некоторых предположениях отображения однозначно определяются своими линейными частями. Для формулировки первой теоремы нам понадобится одно определение. Рассмотрим семейство отображений

окрестности точки где а пробегает некоторое множество индексов А, а функции допускают разложение в кратный степенной ряд

Семейство (1) называется слабо ограниченным, если существуют константы такие, что

для всех с неотрицательными целыми координатами, всех и всех

Теорема 1 (А. Картан). Пусть голоморфное отображение некоторой окрестности имеет линейную часть, совпадающую с тождественным отображением, т. е.

Если семейство итераций этого отображения слабо ограничено, то

Пусть утверждение неверно. Тогда разложения (4) можно записать в виде

где число выбрано так, что все для которых равны 0, а хотя бы один для которого отличен от нуля; многоточие обозначает члены разложения с Итерируя, получим

и, вообще,

Так как по условию семейство слабо ограничено, то для всех всех и всех имеем

где правая часть не зависит, от Отсюда следует, что все такие в противоречии с нашим выбором

Следствие. Пусть семейство голоморфных в отображений с компонентами

слабо ограничено и образует группу (относительно композиции). Тогда каждое однозначно определено своей линейной частью

вектор.

Пусть и имеют одинаковую линейную часть; тогда тождественное преобразование. Итерации следовательно, слабо ограничены. Поэтому по теореме 1 имеем значит,

Теорема 2. Пусть ограниченная область содержит точку и линейная часть голоморфного отображения в этой точке совпадает с тождественным отображением. Тогда

Так как ограничена, она принадлежит некоторому поликругу а так как и все его итерации отображают то и все всюду в Пусть поликруг тогда в нем имеют место разложения

причем в силу неравенств Коши Отсюда видно, что семейство итераций слабо ограничено в V, и по теореме 1 там По теореме единственности эти тождества справедливы и всюду в

Будем еще называть семейство отображений компоненты которых в окрестности точки допускают разложения (2), (сильно) ограниченным в этой точке, если

существуют постоянная и вектор с положительными координатами такие, что

для всех всех и всех Через

мы обозначим величину якобиана отображения в точке

Лемма 1. Пусть семейство голоморфизмов окрестности точки ограничено в этой точке, для всех Тогда пересечение образов содержит некоторый шар

Положим и рассмотрим как действительное отображение

где ряды для содержат лишь члены выше первого порядка (индекс а мы временно опускаем). Выражение

является положительно определенной квадратичной формой, причем в силу условия существует такая не зависящая от а постоянная что

С другой стороны, в силу ограниченности в точке в достаточно малом шаре имеем

где некоторая положительная константа, также не зависящая от а. Пользуясь разложением (6), находим

или, в комплексных обозначениях

Возьмем теперь шар где на его границе имеем

следовательно, при любом а образ лежит вне шара Так как голоморфизм то отсюда следует, что при любом

Следующая теорема имеет вспомогательный характер: Теорема 3. Пусть последовательность голоморфных отображений области на каждом компакте сходится равномерно к отображению Тогда, если якобиан предельного отображения в некоторой точке отличен от нуля, то найдутся числа такие, что для всех образ содержит шар где

Без ограничения общности принимаем Семейство очевидно, ограничено в точке и по теореме Вейерштрасса Отсюда следует, что в некоторой окрестности точки отображения при гомеоморфны и Поэтому функции удовлетворяют условиям леммы, т. е. при содержат шары Так как то найдется такое, что при образы содержат шар

Следующая теорема, принадлежащая А. Картану и К. Каратеодори, выражает достаточное условие для того, чтобы голоморфное отображение некоторой области в себя, обладающее неподвижной точкой (т. е. такой, что было автоморфизмом этой области. Для ее доказательства нам понадобится

Лемма 2. Пусть область содержит точку и голоморфное отображение таково, что а итерации ограничены в этой точке. Тогда

существует последовательность такая, что при равномерно сходится к тождественному преобразованию в некоторой окрестности точки

Совокупность итераций где образует, очевидно, группу (под понимается тождественное преобразование, обозначает преобразование обратное к в окрестности точки которое существует, ибо . По следствию теоремы 1 отображения однозначно определяются своими линейными частями поэтому достаточно найти такую подпоследовательность для которой где тождественное отображение.

Заметим, что по определению итераций где А — матрица ее степень. Так как последовательность по условию ограничена, то можно выбрать подпоследовательность такую, что существует (т. е. существует предел каждого элемента матрицы равный соответствующему элементу матрицы Так как определители матриц по модулю равны 1, то матрица В обратима и существует

Но тогда при т. е. последовательность и есть искомая

Теорема 4. Пусть ограниченная область и голоморфное преобразование с неподвижной точкой Если

то автоморфизм.

Без ограничения общности считаем, что Покажем сначала, что взаимно однозначное отображение. Пусть где тогда и где итерации отображения Так как ограничены в нуле для всех целых (в силу ограниченности , то по лемме существует последовательность такая, что сходится к тождественному преобразованию в некоторой окрестности точки Но ограничена в каждой точке следовательно, из нее по теореме Монтеля можно извлечь подпоследовательность, равномерно

сходящуюся на любом Пусть для простоты — эта подпоследовательность; по теореме единственности она сходится к на любом Поэтому мы имеем а так как у нас то

Остается показать, что Последовательность удовлетворяет условиям теоремы 3, причем якобиан предельного отображения всюду в отличен от нуля. Пусть произвольная точка; так как то по теореме 3 найдутся такие, что при содержит шар радиуса с центром Но следовательно,

Теорему 4 можно рассматривать как некоторый пространственный аналог леммы Шварца. В самом деле, ее можно сформулировать так: если голоморфное отображение с неподвижной точкой то причем равенство возможно лишь в том случае, когда автоморфизм.

Приведем в заключение другую форму пространственного аналога леммы Шварца:

Теорема 5. Пусть голоморфное отображение единичного шара непрерывное в В. Тогда в любой точке

Рассмотрим сначала комплексную функцию голоморфную в В а непрерывную в В. Обозначим

и положим где комплексное число, а также

очевидно,

Так как для любой гей, то к функции одного переменного можно применить обычную лемму Шварца,

по которой для любых и имеем откуда

По формуле (9) отсюда получаем сначала для всех а затем

Теперь рассмотрим отображение удовлетворяющее условиям теоремы, фиксируем произвольную точку и применим неравенство (10) к функции

Мы получим, пользуясь еще неравенством Коши-Буняковского:

Пусть — одна из точек сферы в которой достигается на этой сфере. Выберем в качестве а вектор с координатами Тогда будет из (11) мы получим

Остается заметить, что в силу нашего выбора 2° для любой точки будет

Следствие. Для любого голоморфного отображения в любой точке

Фиксируем произвольное и рассмотрим отображение . Оно непрерывно в В, т. е. удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, причем Поэтому для любого или, что то же самое, для любого и любого

Устремляя к 1, получим (12)