ГЛАВА IV. МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА

В этой главе мы рассмотрим класс функций с особенностями простейшего типа — мероморфных функций. Главное внимание будет уделено решению проблем Кузена, которые состоят в построении мероморфных функций по заданным главным частям и нулям. Сначала мы рассмотрим элементарное решение этих проблем в простейших случаях, затем познакомим читателей с методами алгебраической топологии, которые приводят к общему их решению.

§ 10. Мероморфные функции

30. Понятие мероморфной функции.

Определение 1. Функция называется мероморфной в области если она; 1) голоморфна всюду в за исключением некоторого множества не продолжаема аналитически ни в одну точку и 3) для любой точки существуют окрестность и голоморфная в ней функция такие, что голоморфная в функция голоморфно продолжается в

Очевидно, что в каждой точке (иначе вместе с и функция продолжалась бы в некоторую окрестность точки 2°). Если предположить, что для любой функции не имеют общих множителей, голоморфных в некоторой окрестности и равных нулю в этой точке (на такие множители всегда можно сократить то будет обращаться в нуль лишь на множестве Таким образом, является аналитическим множеством — в окрестности своей произвольной точки оно определяется условием

где . Множество называется полярным множеством функции

Однако не во всех точках полярного множества поведение мероморфной функции одинаково. Точки делятся на полюсы, в которых функция отлична от нуля, и точки неопределенности, в котарых (мы по-прежнему считаем, что не имеют общих множителей, голоморфных в точке и равных там нулю). При приближении к полюсу функция

неограниченно возрастает, а в окрестности точки неопределенности она принимает любое комплексное значение (именно значение на аналитическом множестве очевидно, содержащем точку неопределенности Комплексная размерность множества точек неопределенности по меньшей мере на единицу ниже размерности множества полюсов, ибо точки неопределенности характеризуются дополнительным условием

Пример. Для функции мероморфной в полярным множеством служит аналитическая плоскость Все точки этой плоскости являются полюсами, кроме которая есть точка неопределенности.

Как и в случае одного переменного, справедлива следующая теорема о рациональных функциях (см. :

Теорема 1 (Вейерштрасс, Гурвиц). Любая функция мероморфная в компактифицированном пространстве комплексных переменных или является рациональной.

Пусть мероморфна в ; тогда при любом фиксированном она мероморфна по По теореме 4 из является рациональной функцией от переменного Но функция, рациональная по каждому переменному при любых фиксированных остальных, является рациональной (см. задачу 16 к гл. I). Доказательство в случае пространства предоставляется читателю

Теорема 2. Рациональная функция существенно зависящая от комплексных переменных, имеет хотя бы одну точку неопределенности в

Если многочлен, то он имеет хотя бы одну точку неопределенности в бесконечности. В самом деле, мы можем считать, что и и что коэффициент при старшей степени равен 1 (это можно сделать линейной заменой координат). Многочлен где при больших имеет большие коэффициенты. Из теоремы Виета следует, что у него должен быть хотя бы один большой по модулю корень а По последовательности , сходящейся к точке многочлен стремится к пределу так как можно выбирать произвольно, то точка неопределенности Остается рассмотреть случай где взаимно простые

многочлены не ниже первой степени. В этом случае точками неопределенности будут решения системы уравнений а в случае эта система непременно имеет конечные или бесконечные решения

В некоторых вопросах удобнее пользоваться другим определением мероморфной функции, в котором полярное множество заранее не фиксируется. Более того, в этом новом определении функция не предполагается заданной в целом во всей области, а характеризуется лишь ее локальными свойствами. Описательно говоря, под мероморфной здесь понимается функция, которая локально представляется как отношение двух голоморфных функций, причем такие локальные представления в пересекающихся областях должны быть согласованы между собой так, чтобы в совокупности они образовывали «единую» функцию. Особое преимущество это определение имеет при изучении функций на многообразиях, поэтому мы и рассмотрим сразу этот случай.

Пусть дано комплексно аналитическое многообразие и область на нем. Рассмотрим произвольное открытое покрытие этой области открытые множества, объединение которых совпадает с индекс а пробегает некоторое множество и семейство троек где функции, голоморфные в причем ни одна Кроме того, мы предположим, что выполняется следующее условие согласованности: если то в этом пересечении

Множество всех семейств удовлетворяющих в описанным условиям, мы обозначим через

Наряду с рассмотрим еще семейство троек из Объединением этих семейств мы будем называть семейство всех троек, принадлежащих или Два семейства из мы назовем эквивалентными, если их объединение также принадлежит Очевидно, что в этом определении существенно лишь требование, чтобы любые две тройки из объединения удовлетворяли условию согласованности.

Проверим, что принятое определение эквивалентности удовлетворяет обычным аксиомам. Рефлексивность и

симметричность очевидны, а для проверки аксиомы транзитивности достаточно проверить, что если то для объединения выполняется условие согласованности. Возьмем произвольные тройки для которых и выберем так, чтобы возможно, так как . В силу (2) для объединений на имеем а значит, откуда (в силу условия следует, что

Определение 2. Мероморфной функцией в области принадлежащей комплексно аналитическому многообразию мы будем называть любой класс эквивалентности на множестве Иными словами, мероморфная функция — это совокупность семейств троек таких, что любые две тройки из этой совокупности связаны условием согласованности (2).

Если мероморфная функция задана в области то в силу условия (2) в окрестности каждой точки отношение одинаково для всех троек любого семейства представляющего класс . В этом смысле и можно говорить, что мероморфная функция локально представляется как отношение двух голоморфных функций.

По отношению к мероморфной функции точки области можно разбить на два типа. Будем говорить, что определена в точке если существует тройка принадлежащая к какому-либо семейству которое представляет и такая, что не обращаются в точке одновременно в нуль. Каждой точке в которой мероморфная функция определена, она ставит в соответствие значение конечное, если и бесконечное, если Это значение, очевидно, не зависит ни от выбора представителя класса эквивалентности ни от выбора тройки из семейства т. е. определяется рассматриваемой мероморфной функцией. Множество точек, в которых определена, очевидно, открыто. Точки области в которых мероморфная функция заданная в не определена, образуют множество неопределенности этой функции.

Покажем, как можно определить действия над мероморфными функциями. Пусть в области заданы две мероморфные функции и семейства троек соответственно представляют эти функции. Рассмотрим семейство всех троек для которых существуют такие, что справедливы соотношения

Нетрудно проверить, что условие согласованности проверяется простой выкладкой, а остальные условия очевидны. Класс эквивалентности на содержащий построенное семейство и называется суммой мероморфных функций (обозначение обычное: ). Аналогично определяется произведение только (3) нужно теперь заменить соотношениями

Пусть мероморфная в функция, не равная тождественно нулю. Из теоремы единственности следует, что тогда для любой тройки из семейства представляющего класс функция Поэтому семейство состоящее из троек которые получаются перестановкой также принадлежит Класс эквивалентности на содержащий мы назовем мероморфной функцией очевидно, произведение дает мероморфную функцию, тождественно равную 1. Частное двух мероморфных в функций мы определим как произведение

Нетрудно убедиться в том, что совокупность функций, мероморфных в области с определенными выше действиями образует (коммутативное) поле. Очевидно также, что при действиях над мероморфными функциями их значения подвергаются тем же действиям: имеем

во всякой точке где определены функции