17. Теорема Севери.

Сейчас мы хотим проиллюстрировать применение формулы Мартинелли — Бохнера. Докажем с ее помощью одну важную теорему, выражающую условия, при которых заданная на границе области функция голоморфно продолжается в эту область.

Теорема 1 (Севери). Пусть дана область со связным дополнением и с гладкой границей на пусть задана функция Для существования функции граничные значения которой совпадают с

необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке

где

Необходимость условия (1) доказывается просто. В силу того, что в каждой точке выполняются условия и (мы воспользовались тем, что на , что всюду в и что эти производные непрерывны в D). По теореме об инвариантности дифференциала при вычислении мы можем пользоваться переменными (хотя они и не являются независимыми), но по только что доказанному следовательно, по свойствам внешнего произведения условие (1) выполняется.

Для доказательства достаточности этого условия построим при помощи формулы Мартинелли — Бохнера по заданным значениям функцию

где

а) Покажем прежде всего, что при выполнении условия (1) функция голоморфна всюду вне Для этого заметим, что форма точна: прямой подсчет показывает, что при

дифференциал формы

по переменным равен .

Заметим еще, что, в то время как форма имеет особенность на -мерной плоскости ее частная производная

имеет лишь точечную особенность

При формулу Мартинелли — Бохнера (2) можно продифференцировать по под знаком интеграла

Теперь заметим, что в силу условия (1) функция при дифференцировании по переменным ведет себя как постоянная; ее можно вносить под знак дифференциала. В самом деле, при имеем

ибо , содержит множитель и в силу (1) первое слагаемое равно нулю. Беря от обеих частей (6) частную производную по найдем, что при

По сделанному выше замечанию форма имеет особенность лишь в точке следовательно, правильна при такова же и форма Поэтому, переходя в (7) к пределу при мы получим в силу непрерывности, что это равенство справедливо при всех и

Из этих замечаний видно, что формулу (5) при можно переписать в виде

где под знаком дифференциала стоит правильная форма. Так как цикл (имеем ), то по формуле Стокса правая часть равна 0. Выделяя вместо переменного другие переменные мы совершенно аналогично построим формы правильные при и такие, что и точно так же докажем, что при всех Таким образом, функция действительно голоморфна всюду вне

б) Теперь покажем, что эта функция равна нулю всюду вне . В самом деле, в той части где форма (4) неособая, поэтому мы можем воспользоваться соотношением (6). Мы получим, что для принадлежащих этой части,

(мы снова воспользовались формулой Стокса и тем, что цикл). Но упомянутая часть дополнения к содержит внутренние точки, а так как само дополнение по условию связно, то в силу теоремы единственности во всем дополнении.

в) Докажем, наконец, что граничные значения функции совпадают с заданными значениями Учитывая свойство ядра Мартинелли — Бохнера (формула (12) предыдущего пункта), мы можем написать для любой и любой

где характеристическая функция области

Утверждение будет доказано, если доказать, что правая часть (8) непрерывна в точке в самом деле, предельное значение правой части при извне очевидно, равно нулю; в силу непрерывности будет равно нулю и предельное значение при изнутри т. е. при Итак, остается доказать непрерывность функции

в точке Для этого заметим сначала, что существует интеграл

В самом деле, интеграл берется по -мерной поверхности

и произведения дифференциалов, входящих в форму

имеют размерность -мерного элемента объема. Множители же при этих произведениях

имеют порядок не выше ибо следовательно, — как и имеет порядок не ниже Таким образом, порядок бесконечности подинтегральной функции в (9) по крайней мере на единицу ниже размерности, и, значит, интеграл (9) сходится

Дальнейшее доказательство проводится обычным для анализа способом, и мы лишь наметим его ход. Разность

мы разобьем на две части, соответствующие интегрированию по достаточно малой (относительной) окрестности о точки и остальной части о границы. В силу доказанной сходимости интеграла (9) первую часть можно считать малой; в интеграле по ядро непрерывно, и, следовательно, этот интеграл сколь угодно мал, если точка достаточно близка к Доказательство того, что мы опускаем.

Замечание. Теорема Севери не верна при в самом деле, функция на границе единичного круга удовлетворяет условию (1), однако ее нельзя голоморфно продолжить в Приведенное доказательство при не проходит, ибо форма Коши в отличие от формы Мартинелли — Бохнера, не является точной на если (построить по формуле (4) при нельзя). Интеграл

конечно, голоморфен при но не обязательно равна 0 вне .

В качестве примера применения теоремы Севери мы приведем доказательство еще одной теоремы о принудительном

аналитическом продолжении функций нескольких переменных (ср. пп. 7 и 8) — теоремы о стирании компактных особенностей.

Теорема 2 (Осгуд-Браун). Если функция голоморфна всюду в области , за исключением, быть может, множества то голоморфно продолжается на всю область

Выберем в гладкие -мерные поверхности и так, чтобы они ограничивали соответственно области со связными дополнениями, чтобы и чтобы слой (рис. 94). Так как голоморфна в то по формуле Мартинелли — Бохнера для любой точки

Рис. 94.

По той же причине на и выполняются условия Севери:

Так как 2 лежит вне поверхности то по теореме Севери второй интеграл в формуле (10) равен нулю, и, следовательно, для всех

Но по той же теореме Севери интеграл в правой части (11) представляет функцию, голоморфную всюду в следовательно, реализует требуемое аналитическое продолжение

Из этой теоремы видно, что голоморфные функции переменных не могут иметь изолированных особых точек, — особенности таких функций обязаны выходить на границу области или простираться в бесконечность Из этой же теоремы получается такое усиление теоремы Лиувилля из п. 6: если функция переменных голоморфна вне шара и ограничена, то она постоянна. (В самом деле, по теореме Осгуда — Брауна эта функция голоморфно продолжается в шар, т. е. является целой; но она ограничена: в по условию, а в как непрерывная на компакте функция.)