31. Первая проблема Кузена.

Естественно возникает проблема построения глобально определенной во всей области мероморфной функции по локально заданным ее «главным частям», т. е. мероморфным функциям, локально отличающимся от на голоморфные функции. Приведем общую постановку этой проблемы.

Проблема Кузена I (аддитивная). Дана область принадлежащая аналитическому многообразию а также открытое покрытие этой области. В каждом задана мероморфная функция так, что выполняется следующее условие согласованности:

В любом пересечении разность является голоморфной функцией.

Требуется построить мероморфную в функцию так, чтобы в каждом разность была голоморфной.

Пусть, в частности, плоская область; зададимся последовательностью точек не имеющей предельных точек в и последовательностью главных частей

Для любого открытого покрытия области обозначим через сумму по всем точкам если же не содержит точек мы положим Условие согласованности при этом, очевидно, выполняется. Проблема Кузена с этими данными сводится, следовательно, к задаче построения мероморфной в области функции с заданными полюсами и главными частями. Аддитивная проблема Кузена является, таким образом, естественным распространением этой задачи на пространственный случай.

Разрешимость задачи для любой плоской области доказывает теорема Миттаг-Леффлера (ч. I, п. 42). Однако в пространстве существуют области, для которых не всякая проблема Кузена разрешима.

Пример. Пусть функция, голоморфная в с (неустранимой) особенностью в точке Рассмотрим покрытие окрестностями следующих двух типов: для точек в качестве возьмем шар а для точек шар

В окрестностях первого типа положим а в окрестностях второго типа эти данные Кузена, очевидно, согласованы (см. схему на рис. 113).

Допустим, что поставленная проблема Кузена разрешима и существует мероморфная в функция для которой голоморфна в любое). Тогда (глобально определенная) функция в каждой окрестности первого типа равная и равная в каждой второго типа, голоморфна в (заметим, что в первого типа . По теореме Осгуда — Брауна продолжается в точку до целой функции. Но тогда и функция (мы пользуемся тем, что плоскость покрывается лишь окрестностями первого типа) является целой, а у нас имеет особенность в точке Противоречие и доказывает неразрешимость поставленной проблемы Кузена.

Рис. 113.

Приведем необходимое и достаточное условие разрешимости проблемы Кузена, которое, впрочем, столь близко к самой проблеме, что его можно рассматривать как изменение формулировки. Имея данные Кузена для покрытия области мы можем в каждом пересечении рассматривать разность

голоморфную в в силу условия согласованности. В каждом очевидно, имеем

а в каждом пересечении

Любое семейство функций удовлетворяющих условиям (2) и (3), мы будем называть голоморфным коциклом для данного покрытия области Если эти функции связаны с данными Кузена соотношениями (1), то коцикл будем называть соответствующим проблеме Кузена Наконец, голоморфный коцикл мы назовем когомологичным нулю, если для всех а существуют функции такие, что в каждом пересечении

Введенные термины и позволяют сформулировать условие разрешимости, о котором мы говорили:

Теорема 1. Для разрешимости проблемы Кузена для данного покрытия области необходимо и достаточно, чтобы соответствующий этой проблеме голоморфный коцикл был когомологичным нулю.

Если проблема Кузена разрешима, то существует функция мероморфная в и такая, что все разности голоморфны в Отсюда для соответствующего голоморфного коцикла имеем

а это и означает, что когомологичен нулю.

Пусть, обратно, голоморфный коцикл соответствующий проблеме Кузена когомологичен нулю. Тогда существуют функции такие, что в каждом пересечении т. е. в каждом имеем или

для любых Таким образом, функции мероморфные в не зависят от выбора окрестности и во всей области глобально определена мероморфная функция равная в каждом Она и решает рассматриваемую проблему Кузена

Перефразируем доказанную теорему. Для данного покрытия области голоморфные коциклы можно складывать (поточечно в каждом пересечении и относительно этой операции они образуют группу, которую мы обозначим и будем называть группой голоморфных коциклов для данного покрытия . В этой группе есть подгруппа голоморфных коциклов, когомологичных нулю. Факторгруппу

мы будем называть (первой) группой когомологий для покрытия области (с голоморфными коэффициентами).

Элементами служат классы когомологичных друг другу голоморфных коциклов. Тривиальность этой группы означает, что для рассматриваемого покрытия все голоморфные коциклы когомологичны нулю. Поэтому теорему 1 можно сформулировать в таком виде:

Теорема 1. Для разрешимости проблемы Кузена с произвольными для данного покрытия области необходимо

и достаточно, чтобы соответствующая группа когомологий была тривиальной:

Введенные выше понятия допускают прямую аналогию в классе бесконечно дифференцируемых функций. Пусть область на многообразии ее покрытие окрестностями на пусть еще в каждом пересечении задана бесконечно дифференцируемая функция Если система таких функций удовлетворяет условиям (2) и (3), то мы будем называть ее дифференциальным коциклом. Если при этом выполняется еще аналог условия (4), т. е. в каждом существует функция такая, что в для всех то коцикл называется когомологичным нулю.

Точно так же, как в голоморфном случае, определяется и первая группа когомологий (с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами). Оказывается, однако, что эта группа всегда тривиальна:

Теорема 2. Для любого открытого покрытия области на многообразии любой дифференциальный коцикл когомологичен нулю.

Построим для разбиение единицы, т. е. семейство фуикций таких, что: 1) для всех точек , 2) носитель каждой компактно принадлежит и 3) каждая точка имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом носителей Для этого построим сначала локально конечное покрытие такое, что для каждого задано при котором (существование такого покрытия следует из того, что является объединением возрастающего семейства компактов; покрытие называют подчиненным покрытию Построим разбиение единицы подчиненное покрытию (см. п. 11), и положим если ни для какого сумма по всем Для которых Семейство очевидно, удовлетворяет указанным условиям.

При помощи этого разбиения единицы мы сгладим функции заменив их функциями

При этом мы продолжили во всю окрестность , но отличной от нуля она оказывается лишь в пересечении Теперь в каждой мы можем определить функцию

здесь суммирование распространяется на все множество индексов, но в каждой точке отлично от нуля лишь конечное число слагаемых.

Очевидно, все и в любой точке каждого пересечения

Но так как коцикл, то в каждой точке пересечения в силу (2) и (3) имеем поэтому согласно (8) в каждом

Таким образом, семейство и есть искомое, т. е. — коцикл, когомологичиый нулю

Читатель, несомненно, заметил, что введенные здесь термины аналогичны тем, которые были введены в при изучении дифференциальных форм. Напомним их, ограничиваясь формами первой степени с коэффициентами класса которые в локальных комплексных координатах имеют вид

т. е. формами бистепени . В отличие от мы будем дифференцировать эти формы лишь по переменным и оператор дифференцирования по этим переменным обозначим через Таким образом,

(напомним, что штрих означает упорядоченное суммирование: Форма (9) называется замкнутой формой или коциклом, если т. е.

Коцикл (замкнутая форма) со называется когомологичным нулю (или точной формой), если существует функция такая, что т. е.

Коциклы образуют (по сложению) группу, которую мы обозначим через , а коциклы, когомологичные нулю, — ее подгруппу Факторгруппу

назовем (первой) группой когомологий с коэффициентами в группе дифференциальных форм (мы ставим значки над буквами, чтобы отличить эти группы от таких же групп, введенных в п. 12 на основе обычного дифференцирования по всем координатам

В следующем пункте мы убедимся в том, что связь дифференциальных форм с проблемой Кузена достаточно глубока и не исчерпывается сходством терминологии.