ГЛАВА III. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

В этой главе мы рассмотрим еще одно из самых основных понятий комплексного анализа — понятие аналитического продолжения. Оно позволит нам, в частности, ввести так называемые многозначные аналитические функции.

Самые простые задачи приводят к необходимости рассматривать многозначные решения. Например, уравнение при любом фиксированном имеет два решения, отличающиеся знаком. Совокупность этих решений — мы обозначим ее нельзя рассматривать как функцию от ибо функция по определению однозначна. Попытка отказаться от условия однозначности в определении функции сразу привела бы к значительным неудобствам. В самом целе, какой смысл, например, надо вложить в сумму если каждое слагаемое принимает два значения? Самые простые действия анализа с такими «многозначными функциями» оказались бы весьма затрудненными. Понятие аналитического продолжения позволяет снять такого рода затруднения.

§ 7. Понятие аналитического продолжения

26. Элементы аналитических функций.

Мы начнем с изучения понятия аналитического продолжения, оставаясь в рамках теории однозначных (голоморфных) функций. С этой точки зрения под аналитическим продолжением функции заданной первоначально на некотором множестве , мы будем понимать Доопределение ее до функции заданной в некоторой области такое, что голоморфна в , а ее сужение на множество совпадает с

Такую задачу можно решать самыми различными способами. В первой главе, например, мы аналитически продолжали функции и другие, заданные на действительной оси на всю комплексную плоскость С. Функция задана в области (она не определена при z = 0); написав ее разложение в ряд по степеням

мы при его помощи получим продолжение этой функции на всю плоскость С (такое продолжение равносильно доопределению в точке по непрерывности).

Напротив, сумма ряда

определена (и голоморфна) лишь в круге ибо при ряд расходится. Однако просуммировав эту геометрическую прогрессию, мы найдем, что и полученная формула дает аналитическое продолжение функции в область

Рассмотрим менее тривиальный пример. Гамма-функция Эйлера при определяется интегралом по положительной полуоси

где под для понимается функции

— целые, ибо интеграл можно дифференцировать по параметру в любой точке плоскости. Так как на любом компактном подмножестве правой полуплоскости последовательность равномерно по сходится к то по теореме Вейерштрасса гамма-функция голоморфна в правой полуплоскости.

Если то интеграл (1) перестает сходиться из-за того, что подинтегральная функция слишком быстро возрастает (у нас ). При .

Мы улучшим сходимость при если вычтем из начальные члены ее тейлоровского разложения в нуле и тем самым получим множитель, стремящийся к нулю при При мы получим на этом пути

или, вычисляя элементарные интегралы,

В этом равенстве второй интеграл справа — целая функция (см. выше), первый интеграл сходится равномерно по на любом компактном подмножестве полуплоскости стремится к нулю при со скоростью значит, представляет собой функцию, голоморфную в этой полуплоскости.

Таким образом, равенство (2) позволяет аналитически продолжить разность в полуплоскость а сама оказывается продолженной до функции, мероморфной в этой полуплоскости. Так как в качестве можно взять любое натуральное число, мы получаем мероморфное продолжение гамма-функции на всю плоскость. Мы видим также, что продолженная функция имеет в нуле и отрицательных целых точках полюсы первого порядка, причем вычет в полюсе равен — На рис. 40 приведена поверхность модуля гамма-функции, на которой нанесены также линии равного модуля и аргумента.

Метод улучшения сходимости, который здесь продемонстрирован, называется методом Коши; в гл. V мы еще раз будем им пользоваться (см. п. 42). Заметим, что мероморфное продолжение гамма-функции в левую полуплоскость можно осуществить также, пользуясь функциональным уравнением

которому удовлетворяет эта функция при . В самом деле, при мы можем написать

а потом заметить, что правая часть этого равенства определена при Повторяя этот прием достаточное число

раз, мы продолжим гамма-функцию в любую точку

Конечно, задача аналитического продолжения не всегда разрешима. Вспомним пример из функция

голоморфна в единичном круге но окружность является ее особой линией, и поэтому аналитическое продолжение ни в какую область, строго содержащую невозможно.

Рис. 40.

Если функция (как в этом примере) голоморфна в некоторой области и не продолжается аналитически ни в какую область, строго содержащую то мы будем называть областью голоморфности функции мы докажем, что каждая область является областью голоморфности некоторой функции.

Сейчас мы рассмотрим пример, который заставит нас расширить принятое понятие аналитического продолжения. Пусть область представляет собой плоскость С, разрезанную вдоль отрицательной полуоси: . В этой области определена функция

взаимно однозначно отображающая на правую полуплоскость Мы имеем что и в силу того, что отображение взаимно однозначно, можем воспользоваться правилом дифференцирования обратных функций, по которому в каждой точке существует

Рис. 41.

Таким образом, функция голоморфна в

Рассмотрим теперь сектор где (рис. 41). Функция непосредственно формулой (3) продолжается в этот сектор. Так как при этом взаимно однозначно отображается на сектор плоскости то по тем же соображениям, что и выше, продолженная функция

голоморфна в Однако нельзя рассматривать как аналитическое продолжение из в область по той причине, что не является функцией в этой области, ибо она неоднозначна в . В самом деле, любой точке из пересечения она сопоставляет два значения если считать, что то нужно сопоставить значение

где если же считать то этой точке надо приписать аргумент следовательно, значение функции

(в обоих случаях у нас ).

Между тем если рассматривать только в верхней половине области т. е. верхней полуплоскости то функция

будет аналитическим продолжением ибо она голоморфна в Возникает настоятельная потребность обобщить понятие аналитического продолжения так, чтобы оно содержало и рассмотренное выше продолжение из но не требовало введения многозначных функций.

Заметим, что при аналитическом продолжении однозначность нарушается в тот момент, когда расширяющаяся область определения функции начинает «налезать» на себя, покрывать еще раз некоторую свою часть (подобно тому, как в нашем примере сектор 5 покрывает часть области D, см. рис. 41). Из этого наблюдения в теории функций возникла идея (восходящая еще к Риману и К. Вейерштрассу) относить появляющиеся при продолжении новые значения функции не к старой области, где функция уже определена, а к новой области, покрывающей старую.

Так, в нашем примере значения в пересечении где уже определена функция мы будем относить не к области а к сектору 5 (точнее, к 5, ибо 5 содержит граничный луч и не является областью). Таким образом, на пересечении мы будем рассматривать два объекта: 1) часть области сектор с голоморфной в ней функцией и 2) сектор с голоморфной в нем функцией Хотя области и 5 геометрически совпадают, но функции им отнесенные, различны (они, очевидно, отличаются знаком), поэтому эти объекты следует считать различными.

Итак, идея заключается в том, что вместо функции рассматривается новый объект — пара, составленная из области и заданной в ней функции. Переходим к точным определениям.

Определение 1. Аналитическим элементом или, короче, элементом называется совокупность области и голоморфной в этой области функции

Определение 2. Говорят, что два элемента области которых имеют непустое пересечение являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга через область связную компоненту если всюду

(при этом значения и в других компонентах пересечения не обязаны совпадать, см. рис. 42).

Рис. 42.

Так, в рассмотренном выше примере элемент 0, который состоит из области и голоморфной в ней функции определенной равенством (3), и элемент состоящий из области (левой полуплоскости) и голоморфной в ней функции составляют непосредственное аналитическое продолжение друг друга через второй квадрант но не через третий квадрант ибо в значения различны (рис. 43),

Рис. 43.

Рис. 44.

Определение 3. Говорят, что элементы являются аналитическим продолжением друг друга через области если существует такая цепочка элементов что: 1) 2) области имеют непустое пересечение и является одной из его компонент ; элемент является непосредственным аналитическим продолжением через (рис. 44),

Пример. Пусть верхняя полуплоскость и в ней заданы две функции

Они взаимно однозначно и непрерывно отображают соответ ственно на секторы (мы полагаем Обе функции обращают функцию (так что их можно считать значениями по правилу дифференцирования обратных функций, голоморфны в Таким образом, пары и являются аналитическими элементами.

Они являются аналитическим продолжением друг друга. В самом деле, рассмотрим, например, области и в них соответственно голоморфные функции элементы образуют цепочку, которая удовлетворяет всем условиям, принятым в определении 3.