46. Существенно особые точки.

В ряде вопросов особенности, которые имеют мероморфные функции на своих полярных множествах (см. п. 30), можно рассматривать как несущественные. Существенно особыми точками в многомерной теории называют особые точки всех других типов.

Чтобы прийти к независимому определению существенно особых точек, можно ввести понятие мероморфного продолжения. Для этого рассматривают мероморфный элемент как пару, составленную из поликруга и мероморфной в нем в смысле функции Говорят, что два мероморфных элемента являются непосредственным мероморфным продолжением друг друга, если пересечение непусто и во всех точках голоморфности обеих функций из этого пересечения. Далее, как обычно, вводится понятие мероморфного продолжения вдоль пути и под мероморфной в широком смысле слова функцией понимается совокупность элементов, которые получаются из какого-либо одного мероморфным продолжением вдоль всех путей, для которых такое продолжение возможно. Область, вообще говоря, многолистная, которая при этом определяется, называется областью мероморфности построенной функции. Граничные точки области мероморфности некоторой функции и называются ее существенно особыми точками.

Для доказательства аналитичности множества существенно особых точек нам понадобится

Лемма. Пусть функция голоморфна в произведении поликруга на кольцо

и представляется там рядом Хартогса — Лорана

(k - скалярный индекс, голоморфны в ). Для того чтобы мероморфно продолжалась в поликруг необходимо и достаточно существование конечного числа функций голоморфных и не всех тождественно равных нулю, таких, что

Достаточность. Рассмотрим функцию

голоморфную в и для образуем произведение Из (1) видно, что условия (2) влекут за собой равенство нулю коэффициентов при всех отрицательных степенях в разложении Значит, эта функция голоморфна, а функция мероморфно продолжается в поликруг

Необходимость. Если мероморфно продолжается в то для каждой может существовать лишь конечное число точек таких, что являются особыми точками . В самом деле, в противном случае существует точка предельная для особых, а так как мероморфна в то в ее окрестности где голоморфны. По теореме единственности теории функций одного переменного а отсюда вытекает, что все точки пересечения особые для (ибо открытое ядро множества точек этого пересечения, которые являются особыми для одновременно и замкнуто), а это противоречит голоморфности

Комплексная размерность множества точек неопределенности не превосходит (см. п. 30), поэтому множество точек которые являются проекциями точек неопределенности не разбивает Для обозначим через сумму порядков всех полюсов функции в круге так как функция I целочисленна и непрерывна на

связном множестве то она постоянна. Образуем многочлен

имеющий нулями координаты всех особых точек функции с фиксированной проекцией (все они будут, очевидно, полюсами, и мы берем так, что порядок ее нуля совпадает с порядком полюса). Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Вейерштрасса из мы убедимся в том, что функции с голоморфны в Так как по построению является голоморфной функцией в круге то в ее разложении по степеням все коэффициенты при отрицательных степенях должны быть равными нулю. Учитывая, что представляется разложением (1), мы заключаем, что условия обращения в нуль этих коэффициентов имеют вид соотношений (2), где

Теперь мы можем доказать непрерывность расположения существенно особых точек (аналог части а) доказательства теоремы Хартогса из предыдущего пункта).

Теорема Леви). Пусть - граничная точка области мероморфности функции и при некотором окружность Тогда найдется такое, что при в любом круге есть точки, не принадлежащие

Примем и выберем числа и конечное число точек так, чтобы поликруги принадлежали совокупности покрывали тех где не голоморфна, мы можем считать, что гдефц, причем при (для с облюдения этих условий, возможно, придется уменьшить величины и сделать линейную замену переменных). Тогда функция в любом достаточно узком кольце, окружающем будет голоморфной всюду, за исключением конечного числа полюсов. Мы можем, следовательно, выбрать числа , так что будет голоморфной в замкнутой области

Предположим, что теорема неверна и существует точка такая, что мероморфно продолжается в круг Тогда она будет мероморфно продолжаться и в некоторый поликруг причем

можно считать, что принадлежит На множестве функция представляется рядом Хартогса — Лорана

где голоморфны в Так как она мероморфно продолжается в поликруг то по доказанной выше лемме найдутся функции не все тождественно равные нулю и такие, что для всех и всех имеем

Рассмотрим бесконечную линейную систему с неизвестной

При она имеет нетривиальное голоморфное решение поэтому для таких между имеются аналитические зависимости, выражающие условие существования такого решения. Но так как голоморфны в большем поликруге то эти зависимости справедливы и во всем этом поликруге. Тогда, по той же лемме, функция мероморфно продолжается в поликруг а это противоречит тому, что является граничной точкой Дальнейшее доказательство аналитичности множества существенно особых точек (аналог части б) доказательства теоремы Хартогса) проходит так же, как в предыдущем пункте. По аналогии с радиусом голоморфности (радиусом Хартогса) вводят понятие радиуса мероморфности функции в точке относительно переменного как радиуса максимального круга в который мероморфно продолжается.

Примерно так же, как в (теорема 1), доказывается, что функция является плюрисубгармонической в проекции области мероморфности (см. книгу Б. А. Фукса, цит. на стр. 517, стр. 221). После этого можно почти дословно повторить вторую часть доказательства теоремы Хартогса из предыдущего пункта. На этом пути получается

Теорема 2 (Э. Леви). Пусть а — существенно особая точка функции и для каждой точки в поликруге имеется не более одной точки существенно особой для этой функции. Тогда найдется

поликруг такой, что каждой соответствует точно одно для которого является существенно особой точкой причем функция голоморфна в

Справедлива и более общая теорема, в которой предполагается, что имеет конечное число существенно особых точек с проекцией и которая формулируется, как теорема 2 предыдущего пункта.