15. Первообразная.

Определение 1. Первообразной функции в области называется такая голоморфная в этой области функция что в каждой точке

Если первообразная функции в области то и любая функция где С — произвольная постоянная, также является первообразной Обратно, пусть две какие-либо первообразные функции в области

Функция голоморфна в поэтому но и поэтому Отсюда по теореме действительного анализа (примененной к функциям мы заключаем, что постоянная в Доказана

Теорема 1. Если какая-либо первообразная функции в области то совокупность всех первообразных дается формулой

где С — произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции в области если она существует, определяется единственным образом с точностью до постоянного слагаемого.

Перейдем к вопросам существования первообразной. Сначала мы изучим вопрос о существовании локальной первообразной, действующей в окрестности некоторой точки. Мы докажем, что локально каждая голоморфная функция имеет первообразную. Доказательство разобьем на два этапа.

Лемма 1. Пусть функция непрерывна в круге и интеграл от нее по границе любого треугольника равен нулю:

Тогда функция

где интеграл берется по прямолинейному отрезку является первообразной (т. е. F голоморфна в и в каждой точке

Рис. 25.

Фиксируем произвольную точку и будем считать столь малым, что точка (рис. 25). Тогда треугольник и по условию (3)

откуда видно, что

(мы воспользовались свойствами интегралов и определением функции Но согласно примеру 2 из п. 14

(мы вынесли постоянный множитель из-под знака интеграла); поэтому, используя (5), можно написать

Теперь воспользуемся непрерывностью функции для любого можно найти такое, что при для всех справедливо неравенство На этом основании получаем из (6), что при

а это означает, что существует

Лемма 2. Если функция , то интеграл от по границе любого треугольника равен нулю.

Пусть лемма неверна и существует треугольник такой, что

Разобьем на четыре треугольника средними линиями и предположим, что границы А и этих треугольников ориентированы против часовой стрелки (рис. 26). Очевидно, что интеграл от по равен сумме интегралов по границам маленьких треугольников, ибо интегралы по средним линиям (пунктир на рис. 26) берутся дважды в противоположных направлениях и потому сокращаются, а остальные части границ составляют Поэтому найдется хотя бы один маленький треугольник — мы обозначим его через такой, что

Рис. 26.

Треугольник мы снова разобьем средними линиями на четыре треугольника и по тем же соображениям найдем среди них хотя бы один — мы обозначим его через такой, что

Продолжая наше рассуждение, построим последовательность вложенных друг в друга треугольников таких, что для интеграла по границе треугольника справедливо неравенство

Треугольники (мы считаем их замкнутыми) имеют общую точку которая принадлежит А, а следовательно, и Так как функция голоморфна в точке то для любого найдется такое, что модуль разности

будет меньше для всех из проколотой окрестности .

В U найдется хотя бы один треугольник построенной последовательности, пусть это будет На основании (9) и примеров из предыдущего пункта

где для всех Кроме для всех величина не превосходит периметра треугольника поэтому по теореме об оценке интеграла

Но по нашему построению где периметр треугольника следовательно,

Учитывая (8), мы получаем неравенство

откуда в силу произвольности числа заключаем, что вопреки предположению (7)

Доказанную лемму 2 мы будем называть основной леммой интегрального исчисления. Из нее и из леммы 1 непосредственно вытекает локальная теорема существования первообразной голоморфной функции.

Теорема 2. Если функция то в любом круге она имеет первообразную

Вопрос о существовании глобальной первообразной, действующей во всей области несколько сложнее. Мы займемся им в следующем пункте, а сейчас лишь покажем, как из локальных первообразных можно склеить первообразную, действующую вдоль заданного пути.

Определение 2. Пусть в области задана функция где произвольный (непрерывный) путь, лежащий в Функцию мы будем называть первообразной функции вдоль пути у, если она: 1) непрерывна на и 2) для любой точки существует окрестность точки в которой имеет первообразную F такую, что

для всех из некоторой окрестности

Рис. 27.

Заметим, что если имеет первообразную F во всей области то функция будет служить первообразной вдоль пути у. Однако в определении не требуется существования первообразной во всей достаточно, чтобы она существовала лишь локально, в окрестности каждой точки Более того, если при то две первообразные из которых одна соответствует окрестности а другая — окрестности не обязаны совпадать: они могут отличаться постоянным слагаемым (заметьте, что они действуют в окрестности одной и той же точки и по теореме 1 их разность может быть только постоянной). Поэтому первообразная вдоль пути, являясь функцией параметра может не быть функцией точки

Теорема 3. Для любой функции и любого (непрерывного) пути первообразная вдоль у существует и определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Пусть путь у определяется отображением

Разобьем отрезок на отрезков так, чтобы два соседних пересекались по отрезку рис. 27). Пользуясь равномерной непрерывностью функции мы можем выбрать столь малыми, чтобы для любого образ содержался в круге в котором имеет первообразную (по теореме 2).

Среди совокупности первообразных, действующих в (они отличаются друг от друга постоянным слагаемым), выберем произвольно одну, которую обозначим через Рассмотрим какую-либо первообразную, действующую в в пересечении она может отличаться от лишь постоянным слагаемым (ибо это — две первообразные одной функции). Поэтому среди первообразных, действующих в существует одна, мы обозначим ее через которая совпадает с в пересечении

Продолжая это рассуждение, мы в каждой выберем первообразную так, что в пересечении Функция

будет первообразной функции вдоль пути у. В самом деле, она, очевидно, непрерывна на отрезке и для каждой точки найдется окрестность, в которой где первообразная действующая в окрестности

Остается доказать вторую часть теоремы. Пусть и Две первообразные вдоль пути В окрестности каждой точки мы имеем где и две первообразные функции действующие в некоторой окрестности точки Они могут отличаться лишь постоянным слагаемым, поэтому постоянна в Но локально постоянная в каждой точке связного множества функция постоянна на всем множестве. Поэтому для всех

Если известна первообразная функции вдоль пути у, то интеграл от по вычисляется по обычной формуле Ньютона — Лейбница:

Теорема 4. Если кусочно гладкий путь и функция непрерывна на у и имеет первообразную вдоль у, то

Пусть сначала путь у гладкий и целиком лежит в области, где функция имеет первообразную По определению

интеграла

а по определению первообразной вдоль пути для всех

Так как для всех существует а в силу гладкости у для всех существует непрерывная производная то функция для всех имеет непрерывную производную

Мы видим, что функция является первообразной непрерывной функции, стоящей под знаком интеграла в правой части (13).

По формуле Ньютона — Лейбница для функций действительного переменного получаем (12).

В общем случае мы можем разбить у на конечное число путей так, что каждый из них является гладким и лежит в области, где имеет первообразную. По только что доказанному

и, складывая все эти равенства, получим (12)

Замечание 1. Если рассматривать вместо интеграла Римана интеграл Лебега, то теорему 4 можно точно так же доказать для спрямляемых путей. Однако можно пойти и дальше. Пусть функция голоморфна в области тогда по теореме 3 существует ее первообразная вдоль произвольного непрерывного пути Учитывая теорему 4, мы определим интеграл от по произвольному непрерывному пути у с как приращение ее первообразной вдоль этого пути на отрезке изменения параметра.

Очевидно, что правая часть (12) не меняется при допустимых заменах параметра. Поэтому можно рассматривать интеграл от голоморфных функций и по любым (непрерывным) кривым.

Замечание 2. Теорема 4 позволяет убедиться в справедливости сделанного в начале пункта утверждения о том, что в многосвязной области не каждая голоморфная функция имеет первообразную. Рассмотрим область и в ней

голоморфную функцию эта функция не может иметь в первообразной. В самом деле, если бы первообразная F функции существовала, то для любого пути лежащего в первообразной вдоль этого пути служила бы функция по теореме 4,

где концы у. В частности, интеграл от вдоль любого замкнутого пути для которого , равнялся бы нулю. Но мы знаем (см. пример 1 в п. 14), что интеграл от вдоль единичной окружности т. е. интеграл

В заключение приведем несколько терминологических замечаний. Вместо интегрирования функций часто говорят об интегрировании дифференциальных форм. Для функций двух действительных переменных (линейные) дифференциальные формы имеют вид

где функции от х и у, заданные в плоской области Форма (14) называется замкнутой в если дифференцируемы и

всюду в этой области. Эта форма называется точной, если существует дифференцируемая в функция такая, что всюду в

Как и в п. 6, будем вместо х и у рассматривать комплексные переменные после перехода к этим переменным форма (14) примет вид

где положено Однако в комплексном анализе обычно рассматривают частный вид дифференциальных форм, для которых коэффициент при равен нулю:

Положим тогда форма (18) перепишется в виде линейной комбинации двух действительных форм

Условия замкнутости форм в области состоят в том, что функции и и дифференцируемы в и всюду в

(ср. условие (15) замкнутости формы ). Но это — условие голоморфности функции в области Учитывая сказанное, мы будем называть форму замкнутой в области если функция голоморфна в этой области.

Форма называется точной в области если существует такая голоморфная в функция что всюду в

т. е. если имеет в области первообразную F.

В п. 20 мы докажем, что производная от голоморфной функции также голоморфна. Отсюда следует, что всякая точная форма непременно является замкнутой. Обратное утверждение неверно, вот пример: форма замкнута в области но не точна в ней (см. замечание 2). Однако по теореме 3 каждая замкнутая форма локально тлчна (в окрестности каждой точки ее можно представить как дифференциал функции

В следующем пункте мы убедимся в том, что в односвязной области у каждой голоморфной функции существует первообразная. Поэтому в такой области каждая замкнутая форма точна.

Понятие дифференциальной формы особенно удобно для функций нескольких комплексных переменных (см. часть II).