ГЛАВА III. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

Любая плоска область служит естественной областью существования голоморфной функции: для любой области существует функция, голоморфная в и не продолжаемая аналитически за пределы этой области (см. п. 43, ч. I). В отличие от этого, в пространстве существуют области, из которых любая голоморфная функция непременно продолжается в более широкую область. Мы приводили несколько примеров таких областей, скажем нелогарифмически выпуклые области Рейнхарта или области с компактными дырками (теорема Осгуда — Брауна в п. 17).

Эта глава посвящена в основном описанию пространственных областей, которые служат областями существования голоморфных функций.

§ 7. Области голоморфности

19. Теорема Хартогса о продолжении.

Здесь мы приведем еще одну простую теорему о принудительном аналитическом продолжении функций нескольких комплексных переменных.

Теорема 1 (Хартогс). Пусть даны области любая функция голоморфная в окрестности (в смысле ) множества

где голоморфно продолжается во всю область (см. рис. 95, где представляет собой круг).

Не уменьшая общности, можно считать, что ограничена конечным числом гладких кривых.

Функция

голоморфна в области . В самом деле, при точка следовательно, а по лемме п. 6 и , голоморфно зависит от при любом

с другой стороны, при любом функция (как интеграл типа Коши) голоморфно зависит, от Но при принадлежащих некоторой окрестности множества функция по условию голоморфна, и для таких по интегральной формуле Коши для функций одного переменного

Рис. 95.

Таким образом, для из этой окрестности теореме единственности для функций нескольких переменных всюду, где голоморфна. Но следовательно, она дает требуемое аналитическое продолжение

Пример. Всякая функция голоморфная в области из диаграмма Рейнхарта которой изображена на рис. 96, аналитически продолжается в бикруг

Замечание. Как видно из доказательства, условия теоремы Хартогса можно несколько ослабить, потребовав лишь, чтобы функция была: 1) голоморфной в окрестности множества непрерывной по и голоморфной по на множестве Заметим еще, что в этой теореме можно поменять роли областей (и соответственно переменных для этого достаточно вместо (2) рассмотреть кратный интеграл Коши по

Рис. 96.

В качестве примеров применения теоремы Хартогса рассхмотрим вопрос о стирании особенностей голоморфных функций нескольких переменных. Первая из теорем, которые мы здесь докажем, является пространственным аналогом теоремы об устранимости изолированной особой точки, в окрестности которой голоморфная функция ограничена. В случае пространственной области роль изолированной точки играют так называемые тонкие множества Они определяются условием, что для каждой точки существует окрестность и в ней голоморфная функция которая равна

во всех точках По теореме единственности тонкое множество не может иметь внутренних точек, оно нигде не плотно в Можно доказать, что дополнение к тонкому множеству относительно области связно (задача 3 к гл. V).

Теорема 2. Пусть тонкое множество в области и функция голоморфна в Если локально ограничена ), то она единственным образом продолжается до функции голоморфной в

Единственность продолжения очевидна, ибо множество связно. Достаточно доказать голоморфную продолжимость в произвольную точку а которую без ограничения общности можно принять равной нулю. Выполняя, если надо, линейную замену переменных, можно считать, что функция определяющая в окрестности удовлетворяет условию где, как всегда, При достаточно малом функция на окружности поэтому числа можно выбрать столь малыми, что для всех и всех Отсюда следует, что точки , где не принадлежат множеству т. е. голоморфна в окрестности

С другой стороны, при любой фиксированной функция согласно подготовительной теореме Вейерштрасса имеет конечное число нулей в круге т. е. имеет в конечное число особых точек. Так как она по условию ограничена в то эти особенности устранимы и, значит, продолжается до голоморфной в функции. Продолженная функция голоморфна в окрестности множества и по теореме 1 голоморфна в поликруге

В следующей теореме мы усилим ограничение на функцию предположив ее непрерывной в но зато ослабим требование на множество Именно, мы предположим, что оно лежит не на тонком множестве, а лишь на гладкой поверхности размерности

Теорема 3. Если функция непрерывна в области и голоморфна всюду в за исключением множества лежащего на гладкой поверхности размерности то она голоморфна во всей

Доказательство аналогично предыдущему. Пусть в окрестности точки поверхность представляется уравнением где гладкая действительная функция. Так как то в силу непрерывности для любого достаточно малого найдется такая окрестность и такое что для всех Поэтому голоморфна в где достаточно мало. С другой стороны, при фиксированной функция голоморфна по в прямоугольнике всюду, за исключением гладкой кривой и непрерывна в Из теории функций одного переменного известно (см. задачу 5 к гл. III ч. I), что отсюда следует голоморфность По теореме 1 (см. замечание вслед за ней) заключаем, что голоморфна в