41. Эллиптический синус и модулярная функция.

Рассмотрим еще два примера более общего характера.

а) Эллиптический синус. В п. 39 мы убедились в том, что эллиптический интеграл первого рода

где параметр и рассматривается одна из ветвей корня в верхней полуплоскости конформно отображает эту полуплоскость на прямоугольник с вершинами Обозначим через

или, короче, обращение интеграла -функцию, голоморфную в прямоугольнике и отображающую его конформно на верхнюю полуплоскость функция (2) называется эллиптическим синусом.

Рис. 72.

Так как функция переводит отрезок в отрезок , то к ней применим принцип симметрии, по которому она аналитически продолжается в прямоугольник симметричный с относительно , причем продолженная функция (мы снова обозначаем ее через отображает на нижнюю полуплоскость (рис. 72). Продолженная функция также удовлетворяет условию принципа симметрии и по этому принципу аналитически продолжается в прямоугольник симметричный с относительно отрезка Прямоугольник отображается снова на верхнюю полуплоскость, и притом по построению для всех

(см. рис. 72; точка симметричная с относительно отрезка переходит в точку а точка симметричная с относительно снова в точку

Точно так же мы можем продолжить функцию в прямоугольник симметричный с относительно отрезка только, это продолжение будет мероморфным — в точке отмеченной звездочкой на рис. 72, функция имеет полюс

первого порядка (см. замечание после принципа симметрии). Продолженная функция отображает на нижнюю полуплоскость и, по тому же принципу симметрии, аналитически продолжается в прямоугольник симметричный с относительно отрезка и этот прямоугольник она отображает снова на верхнюю полуплоскость. Как и выше, мы получим, что для всех

(см. 72).

Рассуждая точно таким же образом, мы можем продолжить эллиптический синус на всю плоскость С. Продолженная функция окажется мероморфной: в точках где произвольные целые числа (эти точки отмечены звездочками на рис. 72), она имеет полюсы первого порядка, а в остальных точках С голоморфна. Эта функция обладает также интересным свойством двоякопериодичности — как видно из соотношений (3) и (4) и аналогичных им, она имеет два независимых периода и для любых целых справедливо соотношение

Таким образом, функция инвариантна относительно некоторой группы движений плоскости С, т. е. линейных преобразований вида

Функции, обладающие свойством инвариантности относительно некоторой группы дробно-линейных преобразований, называются автоморфными функциями. Красивой теории автоморфных функций посвящена обширная литература.

В п. 32 мы говорили о римановой поверхности эллиптического синуса.

б) Модулярная функция. Рассмотрим круговой треугольник образованный дугами окружностей, ортогональных к единичной окружности (рис. 73). По теореме Римана существует единственное конформное отображение этого треугольника на верхнюю полуплоскость, переводящее точки соответственно в точки По принципу симметрии функцию можно аналитически продолжить в треугольники , симметричные с отно сительно его сторон. Точки, симметричные вершинам

относительно сторон, противоположных этим вершинам, также лежат на единичной окружности. (В самом деле, при инверсии, скажем относительно дуги дуга окружности содержащая точку А, перейдет в дополнительную дугу этой окружности и образ точки А попадет на эту дополнительную дугу.) По свойствам инверсии стороны треугольников снова будут дугами окружностей, ортогональных единичной окружности.

Продолженная функция конформно отображает каждый из на нижнюю полуплоскость так, что стороны переходят в один из отрезков Поэтому к снова можно применить принцип симметрии, и, следовательно, аналитически продолжается в треугольники которые получаются из отражением относительно их сторон (заштрихованы на рис. 73).

Рис. 73.

Повторяя описанный процесс аналитического продолжения неограниченно, мы построим голоморфную в единичном круге функцию которая и называется модулярной функцией. Очевидно, что модулярная функция непродолжаема аналитически за пределы т. е. является ее областью голоморфности. В самом деле, на окружности всюду плотны множества точек, получающихся отражениями каждой из вершин треугольника но когда стремится по соответствующему треугольнику к точке получающейся отражениями вершины А, то а когда так же стремится к точкам или (получающихся отражениями В или С), то стремится к 1 или Таким образом, нельзя продолжить в даже непрерывно.

Из построения ясно также, что модулярная функция не принимает в трех значений: Этим свойством мы воспользуемся в дальнейшем.

Заметим, далее, что четное число отражений относительно дуг окружностей (инверсий) сводится к дробно-линейному преобразованию. Дробно-линейные преобразования, которые получаются четным числом отражений, описанных при определении модулярной функции, к тому же переводят окружность в

себя, т.е. являются автоморфизмами Они, очевидно, составляют группу которая является подгруппой группы всех автоморфизмов

Легко видеть, что модулярная функция является инвариантной относительно преобразований группы (т. е. автоморфной функцией). В самом деле, пусть произвольное отображение и произвольная точка; принадлежит некоторому треугольнику из описанных выше (точнее, его замыканию в и функция конформно отображает его на верхнюю или нижнюю полуплоскость так, что вершины треугольника переходят в точки

По построению функция отображает треугольник на ту же полуплоскость, причем соответствующие точки снова переходят в точки Поэтому и конформно отображают на одну полуплоскость с одинаковым соответствием трех граничных точек, и, следовательно,

Опишем аналитическую функцию, обратную к модулярной. Для построения этой функции рассмотрим ее ветвь голоморфную в верхней полуплоскости и отображающую эту полуплоскость на треугольник По принципу симметрии эта ветвь аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость через каждый из (открытых) отрезков и . Каждую из продолженных ветвей можно снова продолжить в верхнюю полуплоскость через любой из этих отрезков. При этом, если второе продолжение происходит через другой отрезок, чем первое, то полученная ветвь отличается от начальной (она отображает верхнюю полуплоскость на один из треугольников . Этот процесс продолжения можно вести неограниченно; он и определяет аналитическую функцию, обратную к модулярной.

Нетрудно видеть, что аналитическая функция, обратная к модулярной, бесконечнозначна; точки являются ее логарифмическими точками ветвления. Все значения этой функции лежат в единичном круге

На существовании функции, обратной к модулярной, основано простое доказательство следующей теоремы, которая представляет собой далеко идущее обобщение основного свойства многочленов.

Теорема 1 (Пикар). Любая целая функция, отличная от постоянной, принимает все (конечные) комплексные значения, за исключением, быть может, одного.

Пусть целая функция не принимает двух различных значений а, С. Функция

также целая и не принимает значений 0 и 1. В окрестности произвольной точки голоморфна функция где какая-либо ветвь функции, обратной к модулярной, голоморфная в окрестности точки Так как функция не принимает значений особых для аналитической функции то функция продолжаема вдоль любого пути Так как С односвязна, то по теореме о монодромии функция однозначна и голоморфна в С, т. е. является целой функцией. Но все значения лежат в единичном круге, следовательно, ограничена и, по теореме Лиувилля постоянна. Но тогда и а следовательно и постоянна Целая функция — это мероморфная (в С) функция, не принимающая значения Теорема Пикара обобщается и на произвольные мероморфные функции:

Теорема 2 (Пикар). Любая мероморфная в С функция, отличная от постоянной, принимает все комплексные значения из С, за исключением, быть может, двух,

Пусть мероморфная функция, не принимающая трех различных значений Эти значения можно считать конечными, ибо если бы какое-либо из них было бесконечным, то была бы целой функцией, не принимающей двух значений, т. е., по теореме 1, постоянной. Рассмотрим функцию

она, очевидно, целая (ибо ) и не принимает значений По теореме 1 функция постоянна, но тогда и постоянна

Замечание. Целая функция мероморфная функция следовательно, теоремы Пикара не могут быть усилены в отношении числа непринимаемых значений (такие значения называются пикаровскими исключительными значениями).

Можно доказать, что свойство мероморфных функций принимать все значения, за исключением, быть может, двух на самом деле является локальным свойством их поведения в бесконечности. Имеет место так называемая большая теорема Пикара, по которой любая функция в любой сколь угодно малой окрестности предельной точки ее полюсов принимает все значения, за исключением, быть может, двух. Точно гак же в любой

окрестности существенно особой точки любая функция принимает все конечные значения, за исключением, быть может, одного. В этой формулировке большая теорема Пикара является существенным усилением теоремы Сохоцкого.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)