29. Многолистные оболочки голоморфности.

В заключение этой главы мы хотим описать процесс построения оболочек голоморфности для произвольных областей наложения (в частности, областей Такая оболочка является областью голоморфности над в которую голоморфно продолжается (в смысле, принятом в предыдущем пункте) любая функция, голоморфная в данной области. Пример, который был приведен в начале главы, показывает, что задача построения оболочек голоморфности в классе однолистных областей в общем случае неразрешима. Здесь мы покажем, что эта задача всегда разрешима в классе областей наложения.

Пользуясь свободой выбора модели в определении областей наложения, мы будем строить оболочки из несколько необычного материала — линейных мультипликативных функционалов над кольцом голоморфных функций.

Пусть дана область наложения над (в частности, однолистная область если — естественное отображение вложения). Обозначим через совокупность всех не тождественно равных нулю функционалов непрерывных в топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах а также линейных и мультипликативных, т. е. таких, что

для всех Множество непусто: оно содержит все функционалы ставящие каждой функции ее значение в произвольной фиксированной точке

Мы хотим ввести на структуру многообразия наложения над Для этого прежде всего определим проекцию — отображение Обозначим через координаты на так как они принадлежат то для любого определены значения Мы положим

и тем самым построим отображение

Докажем, что локально взаимно однозначно. Нам понадобится

Лемма. Для любого существует множество такое, что

Пусть такого множества не существует. Тогда найдется последовательность компактов таких, что и функций таких, что На основании этих неравенств можно выбрать достаточно высокие степени так, чтобы для всех Ряд сходится равномерно на каждом компактном подмножестве и по теореме Вейерштрасса его сумма По свойствам гомоморфизма А мы должны иметь но так как для всех то последний ряд расходится. Противоречие доказывает лемму

Фиксируем и построим степенной ряд

где целочисленный вектор и

Согласно лемме найдем для А множество и возьмем произвольное число по (3) и неравенствам Коши будем тогда иметь

где раздутие множества К. Отсюда видно, что ряд (4) сходится для всех из поликруга

Если еще фиксировать то можно рассматривать как функционал над кольцом Он, очевидно, линеен, а так как из (5) для любой вытекает оценка

(см. доказательство теоремы 5 из , то он и непрерывен. Пользуясь мультипликативностью и правилом Лейбница дифференцирования произведения, легко доказать также, что он мультипликативен. Таким образом, и тем самым определено отображение

Применяя формулу (4) к функциям мы найдем для всех Но это означает, что отображение (7) локально обращает (2), и локальная взаимная однозначность отображения А доказана.

Нам нужно доказать, что пара является многообразием наложения над Для этого нам остается ввести на множестве топологию, превращающую его в хаусдорфово пространство, и убедиться в том, что А и его локальное обращение являются в этой топологии непрерывными отображениями. Топологию в мы перенесем из при помощи отображения Именно, поликругом на с центром в точке и радиусом мы назовем образ поликруга при отображении (7); он определен при любом , где — множество, соответствующее функционалу по лемме. Множество мы назовем открытым, если для любой точки существует такое число что поликруг Остается доказать, что любой поликруг является открытым множеством. Пусть т. е. соответствующий функционал

(это предположение не ограничивает общности). Мы должны доказать, что для любого существует поликруг Точка и, значит, найдется

число такое, что Построим по функционал

и сравним его с (8). Так как ряд (9) сходится в то по формуле Тейлора

Но дифференцированием ряда (8) для любого получаем

(мы заменили индекс суммирования к индексом , откуда видно, что Пользуясь этим соотношением, мы можем переписать (10) в виде

Так как то следовательно, последнее разложение совпадает с (9), т. е. для любой Отсюда и следует, что Таким образом, доказана

Теорема 1. Для любой области наложения над можно построить многообразие наложения где пространство всех не тождественно равных нулю линейных и мультипликативных функционалов над кольцом а проекция определяется по формуле (2).

Заметим, что отображение задает на локальные координаты, в которых можно рассматривать как комплексно аналитическое многообразие.

Построим теперь вложение в в смысле определения 1 предыдущего пункта. Для этого рассмотрим в функционалы специального вида, которые каждой функции ставят в соответствие ее значение в фиксированной точке

Тем самым определено отображение

области очевидно, непрерывное. Но по построению что и требуется в определении вложения.

Заметим, что отображение локально взаимно однозначно (ибо из соотношения следует, что локально и голоморфно (как отображение вложения комплексно аналитических многообразий; см. предыдущий пункт).

Обозначим через связную компоненту, содержащую и через сужение на тогда будет областью над

Теорема 2. Область наложения является оболочкой, голоморфности

Любая функция расширяется (в смысле определения 2 предыдущего пункта) до функции . В самом деле, при фиксированной функционалы определяют функцию Эта функция принадлежит ибо в окрестности разлагается в степеннойряд Так как, в частности, то является -расширением

Остается доказать, что является областью голоморфности, а для этого по теореме 3 предыдущего пункта достаточно убедиться в том, что голоморфно отделима и голоморфно выпукла. Голоморфная отделимость доказывается так: если , то существует функция такая, что расширение этой функции и есть функция из разделяющая точки

Чтобы доказать голоморфную выпуклость возьмем произвольное множество и обозначим По теореме об одновременном продолжении (она без изменений переносится на области наложения) любая голоморфно продолжается в поликруг с центром в любой точке принадлежащей оболочке множества К относительно класса Это означает, что степенной ряд, представляющий функцию сходится в поликруге Но по построению области она содержит образ при отображении т. е. значит, Отсюда следует, что а это означает голоморфную выпуклость

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)