30. Особые точки.

В п. 24 мы рассмотрели изолированные особые точки голоморфных функций (их называют еще особыми точками однозначного характера). Но, например, точка являясь особой для аналитической функции не входит в классификацию, приведенную в Поэтому мы ставим здесь своей задачей обобщить эту классификацию, введя понятие особой точки аналитической функции. Как и в мы ограничимся простейшим случаем изолированных особых точек.

Определение 1. Точка называется изолированной особой точкой некоторой аналитической функции, если существует проколотая окрестность V точки а такая, что некоторый

элемент принадлежащий этой функции, продолжается аналитически вдоль любого пути

Таковы, например, точки для аналитических функций (в качестве V для обеих точек можно взять кольцо Для функции особыми будут как точки обусловленные особенностями так и точка обусловленная тем, что в ней одна из ветвей функции (для которой при равен —1) имеет полюс (другая ветвь, для которой при равен 1, правильна в этой точке).

Классификацию изолированных особых точек аналитических функций мы будем проводить в зависимости от поведения их элементов при продолжении вдоль замкнутых путей Лемма. Пусть а — изолированная особая точка некоторой аналитической функции и V — проколотая окрестность такая, как в определении 1. Если какой-либо принадлежащий функции элемент о при продолжении вдоль некоторого замкнутого пути не меняется, то и любой элемент получаемый из продолжением в V, не меняется при продолжении вдоль любого пути у, гомотопного в

Рис. 53.

Пусть К — путь в V, переводящий (проходится в порядке см. п. 14). Очевидно, в V (рис. 53) и имеет общие концы, поэтому по теореме продолжения вдоль совпадают. Но - переводит в не меняет а А переводит 0 в т. е. продолжение вдоль не меняет З

Из этой леммы следует, что продолжение вдоль замкнутых путей, гомотопных нулю в V, не меняет элементов (ибо такие пути стягиваются в пути, лежащие в круге какого-либо элемента, а продолжение вдоль последних очевидно не меняет элементов). Поэтому в нашем исследовании представляет интерес лишь продолжение вдоль путей, негомотопных нулю в

Определение 2. Пусть а — изолированная особая точка некоторой аналитической функции, V — проколотая окрестность

такая, как в определении 1, и замкнутый жорданов путь, содержащий точку а внутри. Будем различать два случая:

(I) если обход не меняет исходного элемента функции, то а называется особой точкой однозначного характера;

(II) если обход приводит к элементу, отличному от исходного, то а называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления.

В случае (I) продолжение исходного элемента вдоль любого пути ведущего в фиксированную точку приводит к одному и тому же элементу. В самом деле, если бы существовали два таких пути приводящие к различным элементам, то замкнутый путь с V менял бы элемент. Но путь либо гомотопен 0 и тогда не может менять элемента по сделанному выше замечанию, либо гомотопен несколько раз проходимому (в положительном или отрицательном направлении) пути и по лемме также не меняет элемента. Это противоречие доказывает сделанное утверждение.

Из него следует, что в случае (I) продолжение начального элемента по путям, принадлежащим приводит к однозначной, т. е. голоморфной в V функции которая является ветвью рассматриваемой аналитической функции. Точка а является и зондированной особой точкой в смысле . В зависимости от поведения при приближении к а эта точка может быть устранимой, полюсом или существенно особой. (Впрочем, если начальный элемент канонический, то случай устранимой точки исключен, ибо в этом случае круг сходимости элемента содержал бы точку а.)

В случае (II) аналитическая функция, которая получается продолжением начального элемента вдоль путей, принадлежащих V, не допускает выделения в V голоморфной ветви. Случай (II) мы разобьем на два подкласса.

(IIа) Существует целое число такое, что -кратный обход в одном направлении приводит к исходному элементу.

В этом случае а называется точкой ветвления конечного порядка, а наименьшее из чисел обладающих описанным свойством, называется порядком ветвления.

Нетрудно видеть, что порядок ветвления не изменится, если заменить любым путем у, гомотопным в . В самом деле, обозначим через путь, который получается -кратным обходом у в одном направлении (совпадающим с направлением у. если и противоположном ему, если если то и и по доказанной выше лемме обходы либо оба меняют, либо оба не меняют исходного элемента. Читателю предоставляется доказать, что если какой-либо замкнутый путь не меняет исходного элемента, то этот путь гомотопен целому (положительному, отрицательному или нулевому) кратному пути где порядок ветвления точки а.

(IIб) Такого целого числа как в случае (IIа), не существует, т. е. обходы в одном направлении приводят все к новым и новым элементам. В этом случае а называется точкой ветвления бесконечного порядка или логарифмической точкой ветвления.

Примеры.

1. Функция имеет в точках точки ветвления порядка Функция имеет в тех же точках логарифмические точки ветвления.

2. Функция в точке имеет устранимую особую точку, а в точке существенно особую точку; она является голоморфной целой функцией (это видно из разложения

справедливого в кольце

3. Функция во всех корнях уравнения т. е. точках имеет точки ветвления второго порядка; точка является ее неизолированной особой точкой.

4. Функция имеет логарифмические точки ветвления при и при одна из ее ветвей в кольце (главная ветвь) имеет полюс первого порядка, остальные ветви голоморфны в этой точке.

5. Разберем подробно пример аналитической функции

В точке внутренний корень имеет точку ветвления второго порядка. Если в окрестности мы выберем круг то в можно выделить четыре различные ветви этой функции, характеризуемые различными знаками обоих корней. Пусть одна из этих

ветвей; элемент после продолжения вдоль окружности перейдет в элемент где другая ветвь, ибо внутренний корень при таком обходе изменит знак. Повторный обход снова приведет к элементу ибо обходы не меняют ветвей внешнего корня, точкой ветвления которого является Точно в таком же отнот шении находятся две остальные ветви: Таким образом, в точке рассматриваемая функция имеет две различные точки ветвления второго порядка.

Перейдем к изучению точки в которой для одного из значений треннего корня подкоренное выражение внешнего корня обращается в нуль. Пусть четыре ветви нашец функции в круге Пусть ветви, для которых внутренний корень равен — 1 при Обход окружности не изменит ветви внутреннего корня, но изменит знак у внешнего корня (когда 2 описывает окружность точка где рассматривается выбранная ветвь внутреннего корня, описывает в плоскости замкнутый жорданов путь, содержащий внутри точку поэтому при таком обходе элемент перейдет в Вторичный обход снова изменит знак внешнего корня и поэтому снова приведет к элементу Оставшиеся две ветви для которых внутренний корень равен 1 при при обходе не изменятся (при этом точка с выбранной ветвью корня опишет замкнутый жорданов путь, охватывающий точку и не охватывающий сдедовательно такой обход переведет каждый из элементов и в себя. Таким образом, в точке рассматриваемая функция имеет одну точку ветвления второго порядка и два правильных, неразветвленных элемента.

Рис. 54.

Для изучения функции в точке надо взять проколотую окрестность, и в ней, например, круг Пусть какой-либо из четырех элементов функции в круге Обход окружности приводит к изменению знака как у внутреннего, так и у внешнего корня (при этом точка при любом выборе ветви корня опишет замкнутый путь вокруг точки поэтому он приведет к другому элементу. Вторичный обход приведет к третьему элементу трехкратный — к четвертому и лишь четырехкратный обход приведет к исходному элементу Таким образом, в точке рассматриваемая функция имеет точку ветвления четвертого порядка.

Остальные точки С являются правильными точками этой аналитической функции.

На рис. 54 изображен схематически результат нашего исследования.

В заключение приведем один результат, относящийся к точкам ветвления конечного пйрядка. Мы покажем, что в окрестности такой точки а аналитическую функцию можно разложить.

в ряд по дробным степеням являющийся обобщением ряда Лорана.

Теорема. В некоторой проколотой окрестности точки ветвления конечного порядка аналитическую функцию можно представить разложением вида

Положим когда точка описывает в плоскости достаточно малую окружность соответствующая точка описывает раз окружность Так как начальный элемент рассматриваемой аналитической функции при таком обходе не меняется, то соответствующий элемент функции рассматриваемой в зависимости от переменной , не меняется при однократном обходе К.

Отсюда следует, что является особой точкой однозначного характера этой функции и, значит, в некоторой проколотой окрестности точки она представляется рядом Лорана

Подставляя сюда получаем разложение (1)

В зависимости от «главной части» разложения (1), т. е. совокупности членов с отрицательными индексами ветви рассматриваемой аналитической функции непрерывны в точке (как или в точке стремятся к бесконечности при как при или не стремятся ни к какому пределу при Это различие считается так уж существенным, и во всех случаях а называют точкой ветвления конечного порядка.

Пример. Пользуясь биномиальным рядом, нетрудно написать обобщенные лорановские разложения аналитической функции из разобранного выше примера 5. В кольце имеем

в кольце

а в кольце

Эти разложения хорошо иллюстрируют проведенный выше анализ точек ветвления рассматриваемой функции.