§ 5. Теорема Коши — Пуанкаре

В этом параграфе мы рассмотрим многомерный аналог основной теоремы теории аналитических функций — теоремы Коши. Центральную роль здесь играет формула Стокса,

связывающая две операции: топологическую операцию взятия границы и аналитическую операцию дифференцирования форм. Начнем изучение с операции взятия границы.

12. Цепи и их границы.

Рассмотрим (замкнутый) ориентированный -мерный симплекс где вершины симплекса, взятые в каком-либо порядке; предполагается, что они находятся в общем положении. Индексы образуют перестановку из чисел четность этой перестановки определяет положительную или отрицательную ориентацию.

Будем считать, что ориентация индуцирует ориентацию граней этого симплекса по следующему правилу. Грань получаемую из отбрасыванием вершины, которая стоит на первом месте, будем считать ориентированной так же, как Ориентацию других граней будем вводить так: отбрасываемую вершину переводим на первое место и приписываем соответствующей грани ту ориентацию, которую имеет симплекс

Рис. 90.

На рис. 90 изображен для примера двумерный симплекс ориентированный положительно. Индуцированная ориентация его одномерных граней следующая:

Определение 1. Границей симплекса называется совокупность его -мерных граней, взятых с индуцированной ориентацией. Условимся записывать эту совокупность как сумму:

Пример. Для симплекса границей является

(см. рис. 90). Граница одномерного симплекса

Границу нульмерного симплекса (точки) будем считать равной нулю.

Определение 2. Будем называть -мерной цепью отображение совокупности -мерных симплексов

в какую-либо коммутативную группу (например, группу целых чисел). Приписывая каждому образ при этом отображении как формальный коэффициент, мы можем представить цепи как формальные линейные комбинации:

Границей цепи назовем -мерную цепь

Цепи одной размерности мы условимся складывать между собой (покоэффициентно); в частности, будем приводить подобные члены (когда это возможно). Совокупность всех -мерных цепей (с коэффициентами из данной группы) образует, следовательно, коммутативную группу, которую мы будем обозначать через

Оператор взятия границы можно рассматривать как оператор, преобразующий

причем этот оператор сохраняет групповую операцию является гомоморфизмом.

Теорема. Квадрат оператора равен нулю, т. е. для любой цепи

Теорему достаточно доказать для -мерных симплексов . При по определению принято значит, и подавно Для имеем (опять используется, что граница точки равна нулю).

Пусть ; рассмотрим симплекс и будем следить лишь за теми его гранями, которые вносят в симплексы, не содержащие одновременно вершин Имеем

причем невыписанные симплексы содержат обе вершины далее,

Мы видим, что в выражении симплексы, не содержащие вершин сокращаются. Но перестановкой вершин (которая может переменить лишь знак) мы любые две вершины

можем поставить на место следовательно, в выражении сокращаются все симплексы, и

Определение 3. Будем называть циклом любую цепь граница которой равна Цепь которая является границей какой-либо цепи и которая по доказанной теореме непременно является циклом, называется циклом, гомологичным нулю.

Циклы данной размерности очевидно, образуют группу которая является подгруппой Точно так же циклы, гомологичные нулю, образуют подгруппу группы Эти подгруппы можно охарактеризовать еще так:

является ядром гомоморфизма т. е. совокупностью элементов, которые переводит в 0 (обозначение: ), а

— образом этого гомоморфизма, т. е. совокупностью элементов в которые переводит элементы (обозначение:

Рассмотрим последовательность двух гомоморфизмов

(для ясности мы снабжаем оператор индексом, указывающим размерность цепей, на которые он действует); доказанная выше теорема гласит, что

Последовательности гомоморфизмов, удовлетворяющие этому условию, называются полуточными; если же вместо включения имеет место равенство:

то последовательность называется точной. Точность последовательности (8) означает, следовательно, что в каждый цикл гомологичен нулю.

Назовем два цикла гомологичными если их разность гомологична нулю Классы гомологичных друг другу циклов образуют факторгруппу

которая называется группой гомологий. Точность последовательности (8) означает, очевидно, тривиальность этой группы все циклы гомологичны нулю).

Введенные понятия без труда переносятся на произвольное гладкое ориентируемое многообразие Именно, криволинейным симплексом на мы будем называть пару , где ориентированный симплекс и непрерывно дифференцируемое гомеоморфное отображение (сохраняющее или меняющее ориентацию). Далее, -мерной цепью на назовем любую линейную комбинацию где элемент какой-либо группы, а Границей цепи назовем цепь где Без всяких изменений переносятся на многообразия определения цикла, гомологичных циклов и группы гомологий.

Всюду в дальнейшем (если не оговорено противное) мы будем рассматривать цепи с целочисленными коэффициентами на гладких ориентируемых поверхностях пространства или

Криволинейный симплекс мы часто будем обозначать просто символом Мы будем рассматривать конечные наборы криволинейных симплексов удовлетворяющие следующим условиям:

1) каждый симплекс входит в К вместе со всеми своими гранями

2) любые два симплекса из К либо не пересекаются, либо их пересечение является гранью (какой-либо размерности) каждого из них.

Такие наборы мы будем называть комплексами; размерностью комплекса будем называть наибольшую из размерностей составляющих его симплексов. Объединение точек всех таких симплексов будем называть носителем комплекса или полиэдром.

Пусть дан комплекс К на -мерной поверхности тогда -мерную цепь комплекса К, т. е. линейную комбинацию ориентированных -мерных симплексов с целочисленными коэффициентами:

мы будем наглядно представлять как набор этих симплексов, причем входит в набор раз с ориентацией если и с противоположной, если

На рис. 91 изображено несколько одномерных циклов на торе в который представляет собой носитель двумерного комплекса. Цикл гомологичен нулю — он ограничивает

двумерную цепь, носитель которой заштрихован. Циклы негомологичны нулю и негомологичны друг другу; цикл гомологичен циклу видно из того, что ограничивает двумерную цепь). Можно убедиться в том, что всякий одномерный цикл у на торе гомологичен некоторой линейной комбинации циклов и с целыми коэффициентами (равными нулю, если Поэтому группа одномерных гомологий тора с целыми коэффициентами изоморфна прямой сумме двух групп

Рис. 91.

Любой двумерный цикл на торе преставляет собой целое кратное самого тора. Поэтому