9. Геометрические свойства.

Приведем два элементарногеометрических свойства дробно-линейных отображений. Для формулировки первого из них условимся называть окружностью на С любую окружность или прямую на комплексной плоскости (при стереографической проекции и тем и другим соответствуют окружности на сфере Римана); окружности в собственном смысле будем называть окружностями на С. Имеет место

Теорема 1. Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любую окружность на С тоже в окружность на С (круговое свойство дробно-линейных отображений).

Для случая линейных отображений утверждение очевидно, ибо такие отображения сводятся к растяжению с поворотом и сдвигу. Если то отображение можно переписать в виде

и, следовательно, представить как композицию трех отображений:

. Отображения (растяжение с поворотом и сдвиг) и (сдвиг), очевидно, сохраняют окружности на С. Остается доказать это свойство для отображения

Для доказательства заметим, что любую окружность на С можно записать уравнением

где, быть может, и обратно, любое такое уравнение изображает окружность на С, быть может, вырождающуюся в точку или пустое множество. Переходя к комплексным

переменным полагая в мы переписываем это уравнение в виде

где положено

Чтобы получить уравнение образа окружности (4) при отображении (2), достаточно положить в мы получим

т. е. уравнение того же вида, что и (4). Случаи вырождения в точку или пустое множество исключены свойством взаимной однозначности дробно-линейных отображений; следовательно, рассматриваемый образ является окружностью на

Рис. 12.

Мы видели выше, что произвольная голоморфная функция с точностью до малых высшего порядка, преобразует бесконечно малые окружности с центром в точке 20 в окружности с центром Теорема 1 утверждает, что дробно-линейные функции точно преобразуют любые окружности на С в окружности. Легко, однако, видеть на самых простых примерах, что центр окружности, вообще говоря, не переходит в центр.

Для формулировки второго геометрического свойства дробно-линейных отображений введем

Определение. Точки будем называть симметричными относительно окружности на С, если они лежат на одном луче с вершиной в центре так, что произведение их расстояний до центра равно квадрату радиуса

Имеем центр, радиус , и, следовательно, симметричные относительно точки связаны соотношением

Из рис. 12 ясен способ построения симметричных точек: если лежит внутри то достаточно из провести перпендикуляр к лучу до пересечения с в точке , а из касательную к до пересечения с лучом в точке если лежит

вне построение производится в обратном порядке (доказательство следует из подобия прямоугольных треугольников ).

Легко устанавливается также следующее свойство, характеризующее симметричные точки:

Для того чтобы точки были симметричными относительно окружности необходимо и достаточно, чтобы любая окружность у на С, через них проходящая, была ортогональной

В самом деле, если симметричны относительно а у — любая окружность, через них проходящая, то квадрат длины касательной к у из точки по известной элементарно-геометрической теореме равен произведению секущей на ее внешнюю часть (рис. 13), т. е. равен таким образом, касательная к у из является радиусом и эти окружности ортогональны (если у — прямая, то она проходит через следовательно, ортогональна к . Обратно, если любая окружность у на С, проходящая через ортогональна к (и, в частности, прямая то, во-первых, точки и лежат на одном луче с вершиной и, во-вторых, произведение их расстояний до (по той же элементарно-геометрической теореме) равно следовательно, и симметричны относительно

Рис. 13.

Свойство позволяет переформулировать определение симметричных точек так, чтобы его можно было применять к окружностям на С: точки и называются симметричными относительно окружности на С, если любая окружность у, через них проходящая, ортогональна к Очевидно, что в случае, когда представляет собой прямую, это определение совпадает с обычным.

Отображение переводящее каждую точку в точку симметричную с относительно называется симметрией относительно этой окружности или инверсией.

Инверсия относительно окружности на С, как видно из осуществляется функцией, сопряженной к дробно-линейной функции. На основании теоремы 2 предыдущего пункта отсюда следует, что инверсия является антиконформным отображением всюду в С.

(Для случая инверсии относительно прямой это утверждение очевидно: сдвигом и поворотом переведем эту прямую в действительную ось, а тогда инверсия сведется к отображению

Теперь желаемое свойство дробно-линейных отображений получается совсем просто:

Теорема 2. Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любые точки симметричные относительно какой-либо окружности на С, в точки симметричные относительно образа этой окружности (свойство сохранения симметричных точек).

Рассмотрим семейство всех окружностей на С, проходящих через точки эти окружности ортогональны к По теореме 1 окружности у преобразуются также в окружности на С, причем в силу конформности все окружности ортогональны к Отсюда следует, что точки через которые проходят все симметричны относительно