4. Области.

Определение 1. Областью называется множество точек С (или С), обладающее следующими двумя свойствами:

а) для любой точки существует окрестность этой точки, принадлежащая (открытость);

б) для любых двух точек существует лежащий в путь с концами а и b (связность).

Точки С, не принадлежащие но являющиеся предельными для ее точек (т. е. такие, что в любой их окрестности существуют точки, принадлежащие и хотя бы одна точка, не принадлежащая называются граничными точками Совокупность всех граничных точек называется границей этой области и обозначается символом Объединение области и ее границы совпадает с замыканием Точки С, не принадлежащие и не являющиеся ее граничными точками (т. е. точки множества дополнения к называются внешними точками; для каждой из них существует окрестность, не содержащая точек

Теорема 1. Граница любой области является замкнутым множеством.

Пусть любая предельная точка множества надо доказать, что Возьмем произвольную окрестность точки существует точка следовательно, найдется окрестность V точки значит и в найдутся как точки из так и точки, не принадлежащие Это означает, что граничная точка

В дальнейшем мы будем иногда вводить на границы рассматриваемых областей некоторые дополнительные условия. Чтобы их сформулировать, обобщим введенное выше понятие связности.

Определение 2. Будем говорить, что множество связно, если его нельзя разбить на две непустые части так, что оба пересечения пусты. В частности, замкнутое множество называется связным, если его нельзя разбить на два непересекающихся замкнутых (и непустых) подмножества. Замкнутое связное множество называют континуумом.

Свойство множества, выражаемое условие б) из определения 1 (возможность соединить любые две точки множества путем, лежащим на этом множестве), называют линейной связностью. Можно доказать, что любое линейно связное множество является связным, но обратное, вообще говоря, неверно. Однако для случая открытых множеств эти понятия совпадают.

Пусть множество несвязно. Максимальные связные подмножества (т. е. не содержащиеся строго ни в каком другом связном подмножестве называются связными компонентами Можно доказать, что любое множество является

объединением связных компонент (в конечном или бесконечном числе).

Мы будем называть область односвязной, если ее граница является связным множеством; в противном случае называется многосвязной областью. Если число связных компонент конечно, то это число называется порядком связности области если число таких компонент бесконечно, называется бесконечно связной областью.

Рис. 4.

Пример. Множество на рис. 4, а — внутренность лемнискаты — не является областью, ибо оно несвязно (но замыкание этого множества связно). Множество точек, лежащих между соприкасающимися окружностями (рис. односвязная область (ее граница — связное множество). На рис. 4, в изображена четырехсвязная область (ее граница состоит из четырех связных компонент: окружности, окружности с отрезком и двух точек).

Область на рис. квадрат с выброшенными отрезками является бесконечно связной.

Иногда мы будем вводить условия иного рода. Мы будем называть область жордановой, если ее граница состоит из замкнутых жордановых кривых (в геометрической трактовке этого понятия). Назовем область компактной, если существует круг содержащий Будем говорить, что множество компактно принадлежит области если его замыкание (в топологии С, т. е. с учетом не только конечных, но и бесконечной предельной точки если она есть) принадлежит

Пример. Прямоугольник компактно принадлежит полосе а вдвое более узкая полоса принадлежит но не компактно.

Компактную принадлежность мы будем записывать символом (так что , если ). Компактность области означает, что

Далее будет неоднократно использоваться следующая

Теорема 2. Пусть связное множество и его непустое подмножество. Если является одновременно и замкнутым и открытым в относительной топологии то

Пусть, от противного, множество непусто. Замыкание множества в топологии С, очевидно, состоит из точек его замыкания в топологии и некоторого множества (быть может, пустого), не принадлежащего Поэтому а так как замкнуто в топологии то следовательно, пусто.

Но так как и открыто в топологии то его дополнение замкнуто в той же топологии (предельные точки не могут принадлежать в силу открытости последнего, следовательно, они принадлежат Поэтому к пересечению можно применить то же рассуждение, что и к следовательно, пусто. Это противоречит определению связности