10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы.

В формулу дробно-линейного отображения

входят четыре комплексных коэффициента с и Однако на самом деле отображение зависит от трех комплексных параметров, ибо числитель и знаменатель дроби можно поделить на один из не равных нулю коэффициентов. Поэтому естественно ожидать, что при помощи дробно-линейного отображения можно единственным образом преобразовать три заданные точки в три заданные. Имеет место

Теорема 1. Каковы бы ни были три различные точки и три различные точки существует, и притом только одно, дробно-линейное отображение .

Существование отображения доказывается легко: строим дробно-линейные отображения преобразующие соответственно в точки плоскости :

отображение

которое определяется как функция из соотношения

и есть искомое. В самом деле, оно, очевидно, дробно-линейное и преобразует точки .

Докажем единственность этого отображения. Пусть , будет какое-либо дробно-линейное отображение. Рассмотрим отображение где определяются по формулам (2); очевидно, будет дробно-линейным отображением, оставляющим точки и 1 неподвижными. Из условия следует, что целая линейная функция: но из условия получаем, что а из что Таким образом, т. е. откуда по групповым законам получаем, что или, согласно (3),

Замечание. Каждая точка входит в соотношение (4) дважды, один раз в числителе, другой — в знаменателе. Читатель может убедиться в том, что это соотношение сохраняет силу, когда одна из точек или (или одна и одна является бесконечной: нужно только числитель и знаменатель дроби, где появляется эта точка, заменить единицей. Например, в случае формула принимает вид

Таким образом, теорема 1 сохраняет силу для точек замкнутой плоскости.

На основании доказанной теоремы и кругового свойства можно утверждать, что любую окружность на С можно преобразовать дробно-линейным отображением в любую другую окружность (достаточно перевести три точки в три точки и воспользоваться круговым свойством). Из топологических соображений ясно, что круг В, ограниченный переходит при этом в один из двух кругов, ограниченных (чтобы узнать в какой, достаточно выяснить, куда переходит какая-либо точка Отсюда легко вывести, что любой круг можно дробно-линейным преобразованием отобразить на любой другой круг

Дробно-линейное отображение области на мы будем называть дробно-линейным изоморфизмом, а области для которых такой изоморфизм существует, — дробно-линейно изоморфными. Только что высказанное утверждение можно сформулировать так.

Теорема 2. Любые два круга на замкнутой плоскости дробно-линейно изоморфны.

Найдем для примера все такие изоморфизмы верхней полуплоскости на единичный круг . Использование теоремы 1 привело бы к некрасивой формуле, поэтому будем поступать иначе. Фиксируем точку которая переходит в центр круга Точка а, симметричная а относительно действительной оси, по теореме 2 предыдущего пункта должна переходить в точку симметричную относительно окружности до Но точками, которые переходят в нуль и бесконечность, дробно-линейная функция определяется с точностью до постоянного множителя; поэтому искомое отображение должно иметь такой вид:

При действительных имеем поэтому для того, чтобы ось х переходила в единичную окружность, надо взять т. е. Таким образом, все дробно-линейные изоморфизмы верхней полуплоскости на единичный круг определяются формулой

где произвольная точка верхней полуплоскости произвольное действительное число.

Отображения (5) зависят от трех действительных параметров: и двух координат точки а, переходящей в центр круга.

Рис. 14.

Геометрический смысл ясен из замечания, что точка при отображении (5) переходит в Изменение этого параметра сводится к повороту круга. На рис. 14 изображены

сетка декартовых координат в плоскости и ее образ при отображении (5).

Дробно-линейный изоморфизм области на себя мы будем называть дробно-линейным автоморфизмом. Очевидно, что совокупность всех дробно-линейных автоморфизмов какой-либо области образует группу, которая является подгруппой группы А всех дробно-линейных отображений.

Совокупность всех дробно-линейных автомоморфизмов; очевидно, совпадает с группой Также очевидно, что совокупность дробно-линейных автоморфизмов совпадает с подгруппой (целых) линейных преобразований Вычислим в заключение группу автоморфизмов единичного круга.

Фиксируем точку переходящую в центр круга Точка симметричная с а относительно окружности должна переходить в точку поэтому искомое отображение должно иметь вид

где некоторые постоянные. Так как точка переходит в точку единичной окружности, то должно быть т. е. где — действительное число.

Рис. 15.

Следовательно, искомое отображение должно иметь вид

С другой стороны, очевидно, что любая функция вида где и — действительное число, осуществляет

дробно-линейное отображение единичного круга на единичный круг На рис. 15 изображен прообраз сетки полярных координат плоскости Он состоит из двух семейств: дуг окружностей, проходящих через точки а и - (прообраз лучей), и окружностей, имеющих эти точки симметричными (прообраз окружностей).

Таким образом, группа дробно-линейных автоморфизмов единичного круга вычислена. Она зависит от трех действительных параметров: двух координат точки и числа .