§ 3. Голоморфные функции

6. Простейшие свойства.

В предыдущем параграфе был отмечен ряд свойств голоморфных функций нескольких переменных, которые являются распространением соответствующих свойств функций одного переменного (интегральная формула Коши для поликругов, разложимость в степенной ряд, бесконечная дифференцируемость, неравенства Коши). Здесь мы продолжим изучение таких свойств.

Начнем с теоремы единственности. В формулировке п. 21 ч. I она на пространственный случай не распространяется: функция голоморфная в и не равная тождественно нулю, обращается в нуль на множестве с предельными точками (аналитических плоскостях Верна такая

Теорема 1 (единственности). Если функция в некоторой точке области обращается в нуль вместе со всеми частными производными, то

Все коэффициенты тейлоровского разложения в точке равны 0, следовательно, в некоторой окрестности этой точки. Обозначим открытое ядро W (совокупность внутренних точек этого множества). Множество открыто и непусто (оно содержит как и в доказывается, что оно замкнуто в поэтому

В доказанной теореме, по существу, требуется, чтобы обращалась в нуль в -мерной окрестности точки Даже из обращения в нуль в -мерной окрестности точки, вообще говоря, не следует тождественного обращения функции в нуль (пример: обращается в нуль на -мерном множестве Имеются, однако, случаи, когда обращение функции в нуль в -мерной окрестности точки влечет за собой тождественное ее равенство нулю:

Если функция обращается в нуль в действительной окрестности точки т. е. на множестве то

В некотором поликруге с центром функция разлагается в ряд

Полагая здесь найдем, что

для всех Дифференцируя это тождество по а затем полагая найдем, что все По теореме 1 тогда

Теорема 2 (принцип максимума модуля). функция достигает максимума в некоторой точке то

Рассмотрим любую аналитическую прямую проходящую через точку а. Сужение на эту прямую — функция голоморфно в некотором круге достигает максимума при По принципу максимума модуля для функций одного переменного -постоянная, зависящая от со. Но не зависит от , поэтому окрестности точки а. По теореме 1 в D

Если голоморфна в области и непрерывна в то максимум достигается на границе Однако в при существуют такие области, в которых для любой

непрерывной в фактически достигается не на всей а лишь на некотором ее подмножестве. Наименьшее такое замкнутое подмножество называется границей Шилова области Точнее, границей Шилова области называется такое замкнутое множество что: 1) для любой непрерывной в В,

и 2) любое замкнутое множество обладающее свойством 1), Содержит

Примеры.

1. Шар Покажем, что здесь граница Шилова совпадает с топологической границей. Для этого возьмем произвольную точку и построим функцию голоморфную в В, непрерывную в В и такую, что Для всех Обозначим через

скалярное произведение векторов в комплексном пространстве По неравенству Буняковскош — Шварца

ибо причем равенство достигается в В лишь при Поэтому функция обладает нужным свойством.

2. Поликруг Здесь граница Шилова составляет лишь -мерную часть -мерной топологической границы, именно, она совпадает с остовом поликруга. Для доказательства рассмотрим любую функцию голоморфную в и непрерывную в Прежде всего заметим, что функция Для любого фиксированного является голоморфной функцией в поликруге . В самом деле, ее можно представить как предел последовательности функций где какая-либо последовательность точек круга сходящаяся к точке Так как то все голоморфны в а в силу равномерной непрерывности последовательность сходится равномерно в . По теореме Вейерштрасса (см. ниже, теорема 4) отсюда и следует сделанное утверждение. Точно так же доказывается, что все функции где при фиксированных по модулю равных 1, голоморфны по в соответствующих поликругах.

Пусть достигается в некоторой точке которая принадлежит одному из множеств перенумеровывая в случае надобности переменные, можно считать, что оно совпадает с . Либо либо по принципу максимума модуля (он применим по доказанному выше) постоянна по переменному и тогда значение достигается в некоторой точке, две последние координаты которой по модулю равны 1. Продолжая это рассуждение, мы получим, что значение достигается на остове поликруга Таким образом, граница Шилова поликруга принадлежит

Но для любой точки найдется функция голоморфная в и непрерывная в для которой для всех в качестве такой функции можно взять произведение Таким образом, граница Шилова совпадает с

Теорема 3 (Лиувилль). Если функция голоморфна в и ограничена, то она постоянна.

Воспользуемся индукцией по При теорема доказана в первой части, пусть она верна для функций переменного. Возьмем произвольные точки так как функция по индуктивному предположению постоянна, то Но функция также постоянна, следовательно, Таким образом, т. е. теорема верна для функций переменных

В дальнейшем теорема будет усилена (см. п. 18, а также задачу 9).

Теорема 4 (Вейерштрасс). Пусть последовательность функций сходится к функции равномерно на каждом компактном подмножестве тогда и для любого

на любом

По теореме функция голоморфна по каждому переменному в любой точке и по теореме Хартогса принадлежит Вторую часть теоремы достаточно доказать для окрестности произвольной точки и производной по одному переменному Возьмем поликруг и воспользуемся формулой Коши

где остов Так как равномерно на то для любого найдется такое, что Для всех Если то из (3) будем иметь для всех до

отсюда следует, что --равномерно на

Приведем теперь наиболее содержательное из обобщений на пространственный случай свойство голоморфных функций — так называемую подготовительную теорему (Vorbereitungsatz) Вейерштрасса. Эта теорема обобщает известное свойство голоморфных функций одного переменного обращаться в нуль как целые степени : если (но ), то в некоторой окрестности точки

где голоморфна и не обращается в нуль.

Теорема 5. Пусть функция голоморфна в некоторой окрестности точки но тогда в некоторой окрестности V этой точки

где -порядок нуля в точке функции голоморфны в голоморфна в V и не обращается там в нуль.

Без ограничения общности считаем, что По теореме единственности для функций одного переменного можно выбрать так, чтобы при непре рывности найдется поликруг такой, что при Для любого фиксированного число ну лей функции в круге равно

ибо левая часть (6) — целочисленная и непрерывная функция точки следовательно, постоянная, а при она равна порядку нуля функции в точке т. е.

Фиксируем обозначим через нули функции в круге и построим многочлен относительно

имеющий эти нули своими корнями. Его коэффициенты голоморфны в . В самом деле, для любой голоморфной в функции по обобщенному принципу аргумента (см. задачу 1 к гл. IV ч. I)

откуда видно, что суммы в левой части — голоморфные функции переменного в V (мы учитываем, что при Полагая здесь о найдем, что суммы степеней корней многочлена (7) голоморфны в V, а через эти суммы (как известно из алгебры) рационально выражаются его коэффициенты, следовательно, При все корней многочлена равны нулю, поэтому и все

Функция

при любом фиксированном является голоморфной функцией в круге и не обращается в нуль, ибо обращается в нуль того же порядка лишь в точках в которых и При фиксированном имеем

а так как на (ибо там ), то правая часть, а значит и голоморфно зависит от По теореме Хартогса голоморфна в поликруге

Подготовительная теорема Вейерштрасса показывает, что голоморфная функция обращается в нуль как многочлен относительно переменного с коэффициентами из кольца функций от голоморфных в точке а. Точнее, все коэффициенты,

кроме старшего, принадлежат идеалу, который образуют в функции, обращающиеся в нуль в этой точке. Таким образом, эта теорема позволяет привлечь для исследования множества нулей голоморфных функций алгебраические методы.

Замечание. Если и выполняются все условия теоремы Вейерштрасса, кроме условия то существует линейная замена переменных или, в подробной записи,

после которой переходит в функцию такую, что .

Для доказательства выпишем группу членов

тейлоровского разложения в точке а наименьшего порядка при котором не все коэффициенты группы равны 0. Сделаем в ней замену переменных (8), причем матрицу подберем так, чтобы и чтобы коэффициент при

После такой замены перейдет в функцию для которой что и требуется.

Заметим еще, что при разложению Вейерштрасса функции О можно придать вид

для которого условие не требуется (здесь голоморфные в точке а функции, и I — целые числа, голоморфная в точке функция, не обращающаяся в нуль). В самом деле, если то мы имеем разложение (9) с если же то из тейлоровского разложения мы получим, что где уже и, применяя теорему к функции придем к разложению (9).

В заключение этого пункта докажем лемму о голоморфной зависимости интегралов от параметра, которой мы несколько раз пользовались при доказательстве подготовительной теоремы

Вейерштрасса. Мы рассмотрим ее в несколько более общей ситуации.

Лемма. Пусть - спрямляемая кривая в плоскости область в пусть Если функция непрерывна на голоморфна по при любом и имеет на непрерывные частные производные то интеграл

голоморфен в D и

Для любого выберем так, чтобы поликруг пусть вектор, у которого все координаты, кроме равны 0. Имеем

и, следовательно,

В силу того, что при фиксированном равномерно непрерывна на компактном множестве то для любого можно выбрать столь малым, что для всех при будет

Поэтому, оценивая последовательно интегралы в правой части (12), мы найдем, что левая часть этого равенства

не превосходит по модулю Таким образом, в каждой точке все частные производные существуют и выражаются формулами