32. Решение для поликругов.

Здесь будет доказана разрешимость аддитивной проблемы Кузена в простейшем случае, когда область и все области покрытия являются поликругами. В частности, сюда относится случай покрытия всего пространства поликругами. При доказательстве нам понадобится

Лемма. В любой односвязной области для любой функции неоднородная система Коши — Римана

разрешима в классе Если при этом является голоморфной (или класса функцией некоторого параметра, то и решение голоморфно (или бесконечно дифференцируемым образом) зависит от него.

Пусть сначала функция финитна, т. е. равна нулю вне некоторого компакта из По формуле Коши — Грина (п. 18 ч. 1) имеем тогда

где элемент площади.

Рассмотрим теперь функцию

мы можем продолжить на всю плоскость, полагая ее равной и тогда считать, что интегрирование распространяется на С. Сделаем еще замену переменного интегрирования тогда будем иметь

Дифференцированием под знаком интеграла (которое, очевидно, законно) находим

или, возвращаясь к старому переменному интегрирования,

Сравнивая это с (2), мы убеждаемся, что удовлетворяет системе (1). Дифференцировать интеграл (4) по 2 можно любое число раз, следовательно, Если голоморфно зависит от параметра, то и интеграл так же от него зависит. Для финитных лемма доказана.

В общем случае мы возьмем компактное исчерпывание односвязными областями и построим функции так, чтобы По доказанному каждая система

разрешима в классе мы покажем сейчас, что решения можно выбрать так, чтобы в каждой было

В самом деле, выберем решение по формуле (3), в которой заменена функцией потом возьмем по той же формуле с заменой и заметим, что разность голоморфна в (ибо там ). По теореме Рунге можно подобрать многочлен так, чтобы в было

теперь видно, что удовлетворяет системе и условию (5) при Точно такой же прием можно применить и для

Построенная последовательность на каждом компакте равномерно сходится к функции

В любой функция представляется как конечная сумма функций класса и суммы равномерно сходящегося ряда из голоморфных функций при на имеем Следовательно, всюду в голоморфная зависимость от параметра, от которого зависит следует из теоремы Вейерштрасса

Приступаем к доказательству объявленной выше теоремы. Теорема. Для любого поликруга и любого его покрытия поликругами любая аддитивная проблема Кузена разрешима.

С учетом теоремы 1 предыдущего пункта достаточно доказать, что для рассматриваемого покрытия группа когомологий тривиальна. Вместо этого мы сначала докажем тривиальность группы а затем установим, что изоморфна Группа тривиальна. Нам нужно доказать, что каждая замкнутая форма с коэффициентами из точна, или, другими словами, доказать разрешимость в классе любой неоднородной системы Коши-Римана

для любой формы бистепени (0,1), для которой Перепишем (6) в виде системы

и ее разрешимость в классе будем доказывать индукцией по

При утверждение доказано леммой; предположим, что оно справедливо, когда число переменных не превосходит

и докажем его справедливость для системы (7) с переменными. Рассмотрим последнее уравнение этой системы

и обозначим через его решение в круге функцию от зависящую от как от параметра. Решение системы (7) мы будем искать в виде тогда должна быть голоморфной по а по остальным переменным в поликруге удовлетворять системе

Так как форма замкнута для всех Следовательно, форма замкнута и, по индуктивному предположению, существует решение системы (8), зависящее от как от параметра. Остается проверить, что зависит от голоморфно, а для этого достаточно убедиться в том, что правые части системы (8) голоморфно зависят от Но мы имеем

для всех в силу замкнутости формы Группа изоморфна группе Пусть — произвольный голоморфный коцикл для покрытия Так как по теореме 2 предыдущего пункта в классе каждый коцикл когомологичен нулю, то существуют функции такие, что в каждом пересечении

Для любого рассмотрим форму

замкнутую в смысле оператора . В пересечении в силу (9) имеем

ибо коцикл голоморфен. Поэтому формы по существу, определяют единую форму лишь по разному задаваемую в различных окрестностях Форма , очевидно, замкнута в

Мы построили соответствие между голоморфными коциклами и замкнутыми формами . При этом заданному коциклу соответствует много форм, но если соответствуют одному имеем -разности образуют в единую функцию . В каждом имеем поэтому т. е. отличается от со на точный дифференциал, и, следовательно, обе эти формы принадлежат одному классу эквивалентности. Далее, если эквивалентны, то в каждом

где голоморфные функции; если соответствует форма , равная в каждой то в силу (9) и (10) имеем значит, соответствует форма , которая в каждой равна форма, равная . Таким образом, фактически мы построили отображение

группы это отображение, очевидно, является гомоморфизмом.

Покажем, что построенное отображение взаимно однозначно, т. е. что его ядро равно нулю. Пусть это не так, т. е. существует не когомологичный нулю коцикл которому соответствует точная форма . В каждом имеем и в каждой т. е. там голоморфная функция. Но тогда и коцикл когомологичен нулю.

Остается показать, что (11) является отображением на Пусть произвольная замкнутая форма бистепени Так как по условию все поликруги, то по доказанному в I эта форма локально точна: существует такая, что . В пересечениях имеем т. е. голоморфные функции. Они, очевидно, образуют голоморфный коцикл который соответствует форме

Приведенное доказательство без всяких изменений распространяется на поликруговые области, представляющие собой произведения односвязных областей. На самом же деле аддитивная проблема Кузена разрешима для произвольных областей голоморфности — однолистных или многолистных. Однако в общем случае доказательство разрешимости этой проблемы требует привлечения новых идей. Мы будем говорить о них в следующем параграфе.