§ 2. Функции комплексного переменного

5. Понятие функции.

Определение 1. Говорят, что на множестве задана функция если задан закон, по которому каждой точке ставится в соответствие комплексное число (конечное или бесконечное); обозначения

Согласно этому определению всякая функция однозначна (понятие многозначной функции мы введем в гл. III). Иногда мы будем еще накладывать условие взаимной однозначности, Функция называется взаимно однозначной или однолистной, если она преобразует различные точки в различные, иными словами, если из равенства следует равенство

Задание равносильно заданию двух действительных функций

где и (мы полагаем ). Если еще то, полагая мы

можем записать эту функцию в виде двух соотношений:

(в точках, где функция или , а не определена)

Мы постоянно будем пользоваться геометрической иллюстрацией понятия функции. Задание (2) наводит на мысль иллюстрировать в виде двух поверхностей в трехмерном пространстве; однако этот способ неудобен, ибо он не иллюстрирует пару как комплексное число. Поэтому ограничимся представлением о функции как об отображении множества в сферу

Чтобы сделать это представление более наглядным, будем рисовать множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаще всего мы будем рисовать координатные линии (декартовой или полярной системы координат) и их образы на плоскостях Снабдив эти множества числовыми отметками, мы в простых случаях получим достаточно хорошее геометрическое представление о функции.

Пример. Функцию

в верхней полуплоскости удобно представить в полярных координатах.

Рис. 5.

Полагая мы можем переписать равенство (4) в виде следующих двух:

(см. правило умножения комплексных чисел в полярных координатах, п. 1).

Из (5) видно, что полуокружность при рассматриваемом отображении переходит в окружность с выколотой точкой а луч в луч Верхняя полуплоскость переходит в плоскость с выброшенной положительной полуосью. Удобно представить полуплоскость в виде эластичной пленки, натянутой на две полуоси (положительную и отрицательную, которые шарнирно соединены в начале координат) так, что пленка может свободно скользить по этим полуосям. Тогда преобразование (4) можно интерпретировать как деформацию пленки, происходящую оттого, что полуоси складываются друг с другом.

Отображение (4) можно представить и в декартовых координатах в виде двух равенств:

(полагаем и в соотношении разделяем действительные и мнимые части).

Рис. 6.

Положив в получим кривую соответствующую прямой это парабола соответствует дуга параболы

Замечание. Мы рассматривали отображение (4) в верхней полуплоскости (хотя оно определено всюду в С) потому, что оно однолистно в этой области. Во всей плоскости или в любой области которая содержит хотя бы одну пару точек переходящих в одну точку отображение (4) неоднолистно и описанные геометрические представления не столь наглядны.

Иногда пользуются другим способом геометрического представления функции: в пространстве рисуют поверхность которая называется поверхностью модуля или рельефом функции На этой поверхности иногда изображают множества уровня . В простых случаях эти множества представляют собой линии, и, имея достаточно густую их сетку, можно составить представление о распределении значений функции в полярных координатах.

Рис. 7.

На рис. 7 изображена поверхность модуля для функции

Перейдем теперь к основному для анализа понятию предела функции.

Определение 2. Пусть функция определена в проколотой окрестности точки говорят, что число является ее пределом при стремящемся к а,

если для любой окрестности точки А найдется такая проколотая окрестность что для всех значения принадлежат Иначе, для любого найдется такое, что из неравенства

следует неравенство

Если то (8) и (9) можно заменить неравенствами Если , то их можно

переписать в виде читатель без труда распишет эти неравенства и в оставшихся случаях

Для мы положим и легко убедимся в том, что равенство (7) равносильно двум действительным равенствам

Если предположить еще, что и выбрать надлежащим образом значения , то (7) можно переписать в полярных координатах:

Так как принятое определение предела функции читается в точности так, как такое же определение в действительном анализе, и алгебраические действия над комплексными функциями проводятся по тем же законам, как над действительными, то в комплексный анализ автоматически переносятся элементарные теоремы о пределах функции в точке (о пределе суммы и др.) — мы не останавливаемся на их формулировках и доказательствах.

В некоторых случаях мы будем говорить о пределах функций по множествам. Пусть дано множество имеющее а своей предельной точкой, и функция множество епределения которой содержит Мы будем говорить, что стремится к А при стремящемся к а по множеству и писать

если для любого найдется такое, что для всех для которых справедливо неравенство

Определение 3. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки будем называть ее непрерывной в точке а, если существует

если будем говорить о непрерывности в смысле если о непрерывности в смысле (или обобщенной непрерывности).

По соображениям, о которых мы только что говорили, в комплексный анализ автоматически переносятся элементарные теоремы о функциях, непрерывных в точке (непрерывность суммы и др.), — непрерывность здесь надо понимать в смысле С.

Можно говорить также о непрерывности в точке а по множеству если а является предельной точкой и предел в левой части (12) понимается как предел по множеству. Функция, непрерывная в каждой точке множества (по , называется непрерывной на . В частности, если непрерывна в каждой точке области она называется непрерывной в области (в этом случае она непрерывна в каждой точке в смысле определения 3, ибо каждая точка входит в вместе с некоторой окрестностью).

Отметим свойства функций, непрерывных (в смысле С) на замкнутых (в смысле С) множествах

1. Любая функция непрерывная на множестве К, ограничена (т. е. существует постоянная А такая, что для всех ).

2. Любая функция непрерывная на множестве К, достигает на К своей верхней и нижней грани (т. е. существуют точки такие, что для всех

3. Любая функция непрерывная на множестве К, равномерно непрерывна (т. е. для любого существует такое, что коль скоро

Эти свойства доказываются точно так же, как в действительном анализе, и поэтому на доказательствах мы не останавливаемся.