50. Автоморфизмы некоторых областей.

Начнем с изучения групп автоморфизмов простейших областей в шара и поликруга. Мы убедимся в том, что для них и в пространственном случае все автоморфизмы являются дробно-линейными преобразованиями. Таким образом, пространство при существенно отличается от этих областей — его нельзя рассматривать как шар или поликруг бесконечного радиуса.

а) Шар . Сначала рассмотрим семейство дробно-линейных (проективных) автоморфизмов. Зададим точку переходящую при таком автоморфизме в начало, тогда формулы (13) предыдущего пункта (в несколько иных обозначениях) можно переписать так:

Уравнение прообраза сферы при этом отображении имеет вид

где Мы должны рассмотреть такие отображения (1), для которых (2) является уравнением сферы Условиями этого служат

Подсчитаем число независимых параметров, определяющих рассматриваемые отображения (1). Числитель и знаменатель каждого из уравнений (1) можно разделить на одно и то же число (например, положить в них Поэтому отображение (1) зависит от комплексных, т. е. от действительных, параметров. Условия (3) содержат действительных равенств (первое и третье из этих условий содержат комплексные, а второе — действительные равенства). Поэтому группа автоморфизмов шара вида (1) зависит от действительных параметров.

Особо отметим подгруппу этой группы, которая состоит из отображений, оставляющих неподвижными центр шара Здесь все и из уравнений (3) при мы получим, что все , а равны 0 при и равны 1 при Мы видим, что эта подгруппа состоит из унитарных преобразований

для которых Уравнения (4) содержат действительных параметров, а условия унитарности накладывают связей, поэтому рассматриваемая подгруппа зависит от действительных параметров.

Пример. Выпишем для автоморфизмов единичного шара в формулы, в которых участвуют лишь независимые

параметры. Если по-прежнему обозначить точку, переходящую в центр шара, и через скалярное произведение, то при эти формулы будут иметь вид

где произвольный комплексный, действительные параметры. Группа автоморфизмов (5) зависит от восьми действительных параметров: четырех координат точки а, двух — точки А и двух значений (в соответствии со сделанным выше подсчетом: при

Преобразование (5) представляется как композиция двух отображений: дробно-линейного автоморфизма

переводящего точку а в центр шара, и унитарного преобразования

сохраняющего центр. Преобразования (7) составляют подгруппу, зависящую от четырех действительных параметров.

Теорема 1. Любой автоморфизм единичного шара из является дробно-линейным отображением вида (1).

Пусть построим дробно-линейный автоморфизм вида (1), переводящий точку а в 0; тогда композиция будет автоморфизмом шара, сохраняющим его центр. Если он дробно-линеен, то также; поэтому достаточно доказать теорему для автоморфизмов, сохраняющих центр.

Пусть такой автоморфизм. К нему и к его обратному можно применить лемму Шварца из (см. следствие на стр. 540), и мы получим, что для всех одновременно Поэтому всюду в В мы имеем Отсюда выведем сейчас, что является линейным унитарным преобразованием вида (4).

Пусть компоненты в окрестности начала представляются рядами

в силу их абсолютной сходимости

где

а векторы с целыми неотрицательными координатами. Полагая мы будем иметь

Введем новый векторный индекс и перегруппируем последний ряд, записав его в виде

где

и суммирование распространяется на для которых Мы можем рассматривать (10) как кратный ряд Фурье, а так как его сумма не зависит от то по теореме единственности разложения в ряд Фурье все при а

Но рассматривая (11) и (12) как степенные ряды относительно действительного переменного мы получим в силу единственности разложения в такие ряды, во-первых, что при и, во-вторых, что при Теперь из (9) видно, что при т. е. что линейное, а значит, унитарное преобразование

Непосредственным следствием доказанного и сделанных выше подсчетов является

Теорема 2. Группа всех автоморфизмов шара зависит от действительных параметров, а подгруппа

автоморфизмов, сохраняющих центр шара, — от действительных параметров.

б) Поликруг Подгруппу автоморфизмов этого поликруга, зависящую от действительных параметров, составляют, очевидно, дробно-линейные преобразования

где комплексные, действительные числа. При к этим преобразованиям можно добавить еще те, которые получаются из них дополнительной перестановкой переменных где взаимно однозначное отображение множества на себя.

Теорема 3. Любой автоморфизм поликруга имеет вид (13) или получается из (13) перестановкой переменных Таким образом, полная группа всех автоморфизмов поликруга расслаивается на классов, зависящих от действительных параметров.

Пусть автоморфизм Мы можем считать, что так как можно заменить преобразованием где дробно-линейный автоморфизм вида (13), переводящий в 0. При фиксированном рассмотрим функцию комплексного переменного по лемме Шварца мы получаем, что Так как любую точку можно представить в виде , где то имеет место неравенство

которое обобщает неравенство Шварца. Так как тоже автоморфизм то мы получаем, что в

Пусть плоскость вида на которой

Применяя лемму Шварца на этой плоскости к функциям мы получаем из равенства (14), что хотя бы одна из них совпадает на с функцией для некоторого Так как число индексов конечное, а плоскостей континуум, то по теореме единственности мы получаем,

с точностью до перестановки переменных, что где

Эта теорема и замечание, сделанное в самом начале параграфа, приводят к такому заключению:

Следствие. В при поликруг и шар голоморфно не эквивалентны друг другу.