43. Теорема Вейерштрасса.

Здесь мы рассмотрим разложения целых функций на линейные множители, соответствующие их нулям, аналогичные такому же разложению многочленов:

(через мы обозначаем корни многочлена, отличные от нуля; каждый повторяется столько раз, какова его кратность; через оббзначена кратность корня

Целые функции в общем случае имеют бесконечное (счетное) множество нулей, и мы приходим к необходимости вместо конечного произведения (1) рассматривать бесконечные произведения. Напомним определения и простейшие факты, относящиеся к таким произведениям. Бесконечное произведение с комплексными членами

называется сходящимся, если все его множители отличны от нуля и частичные произведения имеют предел также отличный от нуля; число называется величиной произведения (2),

Так как то условие является необходимым для сходимости произведения (2); оно, конечно, недостаточно: пример Для сходимости произведения (2) необходима и достаточна сходимость ряда

при надлежащем выборе значений логарифмов. В самом деле, пусть ряд (3) сходится, т. е. частичные суммы сходятся к конечному пределу 2; тогда частичные произведения стремятся к пределу сходится. Пусть сходится (2), т. е. существует выберем значения логарифмов так, чтобы а затем положим значение подберем так, чтобы выбранными значения для мы подбираем так, чтобы При таком выборе значений логарифмов т. е. ряд (3) сходится.

Наконец, бесконечное произведение, множителями которого служат функции, голоморфные на множестве мы будем называть сходящимся на этом множестве, если среди множителей есть лишь конечное число обращающихся на в нуль и после вычеркивания таких множителей произведение оказывается сходящимся в каждой точке

Основной для дальнейшего является следующая теорема существования целых функций с заданными нулями:

Теорема Вейерштрасс). Какова бы ни была последовательность точек существует целая функция которая имеет нули во всех точках и только этих точках, причем порядок нуля в точке таков, сколько членов, равных имеет данная последовательность.

Без ограничения общности можно считать, что (ибо вместо можно рассматривать целую функцию где порядок нуля в точке и что точки занумерованы в порядке неубывающих модулей. Подберем натуральные числа так, чтобы ряд

равномерно сходился в любом круге для этого достаточно, например, положить (примените критерий Коши и воспользуйтесь тем, что

При таком выборе бесконечное произведение

сходится на любом компакте К из С. Для доказательства рассмотрим функцию

и заметим, что ее логарифм

при допускает оценку

Если теперь обозначить то для любого найдется номер такой, что для всех Для всех таких в силу (6)

и, следовательно, ряд

на К мажорируется равномерно сходящимся рядом (4), т. е. представляет голоморфную на К функцию Поэтому произведение

сходится и представляет голоморфную и отличную от нуля функцию на К. Произведение (5) отличается от множителем который обращается в нуль в точках и только этих точках.

Так как К — произвольный компакт, то целая функция и имеет заданные нули

Следствие. Любую целую функцию можно разложить в бесконечное произведение, соответствующее ее нулям:

где порядок нуля в точке некоторая целая функция и числа выбраны так, чтобы сходился ряд (4).

Будем считать (для чего достаточно вместо рассмотреть функцию и расположим нули в порядке неубывающих модулей, повторив каждый нуль столько раз, какова его кратность. По этим нулям построим по теореме 1 целую функцию

Отношение является, очевидно, целой функцией без нулей, поэтому функция неограниченно продолжаема в С и по теореме о монодромии является целой функцией. Таким образом,

Примеры:

1. Целая функция имеет простые нули в точках Так как ряд сходится равномерно на любом компакте, то можно положить все и разложение Вейерштрасса примет вид

где некоторая целая функция (штрих у произведения означает, что нужно пропустить индекс Остается найти а это проще всего сделать, проинтегрировав разложение полученное в предыдущем пункте.

Мы найдем, что и разложение примет окончательный вид

(при переходе ко второй форме разложения мы объединили множители с индексами что законно в силу абсолютной сходимости соответствующего ряда).

2. Целая функция имеет простые нули в точках Очевидно, можно положить все и разложение Вейерштрасса примет вид

Целая функция в чем проще всего убедиться, подставив вместо, во второе разложение (8).

Приведем без доказательства теорему Адамара, которая позволяет извлечь некоторую информацию о величинах и функции участвующих в разложении (7), если известно, как быстро растет функция Чтобы сформулировать эту теорему, придется ввести понятие порядка целой функции.

Пусть дана целая функция обозначим

Если по некоторой последовательности величина растет не быстрее какой-либо степени скажем где то полином. Это следует из неравенств Коши для коэффициентов разложения имеем

откуда, устремляя находим, что при

Если отбросить этот тривиальный случай, то для оценки скорости роста надо взять функции, растущие быстрее любой степени Понятие порядка возникает при сравнении с функциями Именно, порядком целой функции называют нижнюю грань таких чисел для которых, начиная с некоторого имеет место неравенство

(если таких чисел нет, то полагают и называют функцией бесконечного порядка).

Этому определению можно придать более удобную форму. Число можно определить еще так: для любого начиная с некоторого по некоторой последовательности Если прологарифмировать дважды эти неравенства, мы получим, что начиная с некоторого по некоторой последовательности Строя такие последовательности для а затем выбирая из них диагональную последовательность мы увидим, что по ней Поэтому порядок целой функции

формулу (12) можно принять за определение порядка.

Пример. Порядки целых функций соответственно равны

Для сравнения скорости роста целых функций одного порядка вводят понятие типа. Именно, типом целой функции порядка называют нижнюю грань с таких чисел для которых, начиная с некоторого имеет место неравенство

(если таких чисел нет, полагают и называют функцией максимального типа; при говорят, что среднего типа, а при минимального типа).

Повторяя рассуждения, проведенные для порядка, можно получить для типа формулу

Теорема Адамара. Если целая функция конечного порядка то в ее разложении Вейерштрасса можно принять и в качестве взять многочлен степени не выше (через обозначается целая часть ).

Пример. Функция порядка 1, следовательно, в ее разложении Вейерштрасса можно принять

полагая здесь находим а так как левая часть и бесконечное произведение — четные функции, то непременно Мы доказали, что

Приведем теперь обобщение теоремы Вейерштрасса на случай произвольной области Без ограничения общности считаем, что содержит бесконечную точку и что граница

Теорема 2. Какова бы ни была последовательность точек не имеющая предельных точек в существует голоморфная в функция которая имеет нули во всех точках и только в этих точках.

Последовательность считаем бесконечной. Для каждой точки найдем точку ближайшую к а"; величина

при Для всех справедливо разложение

а при оно сходится равномерно по

Поэтому при можно выбрать натуральное число так, чтобы было

При таком выборе бесконечное произведение

сходится на каждом . В самом деле, для любого такого К найдется число такое, что для всех и всех Ряд из голоморфных на К функций

в силу (15) сходится на К равномерно, следовательно, голоморфна на К, а произведение

голоморфно и не обращается в нуль на К. Поэтому и функция определяемая произведением (16), голоморфна на К и обращается на К в нуль лишь в точках Так как К — произвольный компакт из то удовлетворяет условиям теоремы

Замечание. Если предположить, что область содержит точку которая не является нулем искомой функции то формуле (16) можно придать несколько иной вид. Заменим в

(16) z на на и на получим

В частности, если то надо положить все и тогда (17) перейдет в формулу Вейерштрасса (5).

Мы закончим параграф двумя важными следствиями теоремы Вейерштрасса. Первое из них выражает связь между мероморфными и голоморфными функциями. Именно, мероморфная в области функция в окрестности каждой точки представляется как отношение двух голоморфных в этой окрестности функций: (в окрестности правильной точки можно принять а в окрестности полюса где порядок полюса). Оказывается, что можно построить и глобальное представление такого рода, действующее во всей области

Теорема 3. Любую функцию мероморфную в области можно представить как отношение двух голоморфных в функций (в частности, если как отношение двух целых функций).

Множество полюсов мероморфной в области функции не может иметь предельных точек в этой области (отсюда следует, что оно не более чем счетно). Пусть последовательность полюсов причем каждый член повторяется в ней столько раз, какова кратность полюса. По теореме 2 построим голоморфную в функцию которая имеет нули во всех точках и только этих точках. Произведение очевидно, голоморфно в (каждый полюс погашается нулем соответствующего порядка), поэтому нужное представление

Замечание. Очевидно, что и, обратно, отношение голоморфных в области функций является мероморфной в функцией. Поэтому эквивалентны следующие два определения:

1) функция называется мероморфной в если она не имеет в других особых точек, кроме полюсов;

2) функция называется мероморфной в если она представима как отношение функций, голоморфных в

Второе следствие теоремы 2 выражает результат, объявленный в Мы назвали там область областью голоморфности

функции если голоморфна в и не продолжается аналитически ни через одну точку границы

Теорема 4. Любая область является областью голоморфности некоторой функции.

Построим последовательность точек так, чтобы она не имела предельных точек в но чтобы каждая точка была предельной точкой этой последовательности. По теореме 2 строим голоморфную в функцию имеющую точки и только эти точки своими нулями (и, следовательно, не тождественно равную нулю). Функцию нельзя аналитически продолжить ни через одну точку ибо если бы было возможно такое продолжение в точку то а была бы внутренней точкой области голоморфности функции , а так как предельная точка нулей то по теореме единственности тогда о