ГЛАВА I. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ

Начнем с описания комплексных чисел и действий над ними. Мы предполагаем, что читатель знает их, и поэтому наше описание будет кратким, с упором на особенности, нужные для дальнейшего изложения.

§ 1. Комплексная плоскость

1. Комплексные числа.

Рассмотрим множество С упорядоченных пар действительных чисел или, что то же самое, точек декартовой плоскости или (свободных) плоских векторов. Два вектора считаются равными в том и только том случае, если векторы , которые изображаются точками, симметричными относительно оси х, назовем сопряженными. Вектор отождествим с действительным числом х; совокупность всех действительных чисел (ось х) обозначим через Для действительных чисел и только для нихг

На множестве С введем совокупность алгебраических операций, превращающих С в поле. Сложение и умножение на действительное число (скаляр) введем так же, как в векторном исчислении. После этого мы сможем представить каждый элемент в так называемой декартовой форме:

где через обозначены единичные векторы (орты) соответственно осей х и у (обозначение первого орта опускается).

Умножение в векторном исчислении вводят двумя способами: паре векторов ставят в соответствие скалярное произведение по формуле

а также векторное произведение по формуле

Но, как хорошо известно, ни одно из этих умножений не удовлетворяет аксиомам поля. Поэтому мы введем в С иное умножение. Именно, положим по определению и назовем произведением вектор, который получается, если перемножить как двучлены по обычным законам алгебры и положить Иными словами, по определению положим

(соотношение получается отсюда как частный случай). Очевидно, что это произведение выражается через скалярное и векторное по формуле

где вектор, сопряженный

Мы предполагаем известным, что введение описанных операций сложения и умножения превращает множество в поле, которое называется полем комплексных чисел; его элементы — векторы называются комплексными числами. Таким образом, комплексное число представляет собой упорядоченную пару, комплекс, составленный из действительных чисел х и у, которые (в дань исторической традиции) соответственно называются действительной и мнимой частью числа и обозначаются символами

Числа действительная часть которых равна 0 (в дань той же традиции), называются мнимыми.

Введенная выше декартова форма (1) записи комплексного числа удобна для выполнения операции сложения (и обратной к ней операции вычитания). Однако, как видно из (4), умножение (и деление) выполняется в этой форме довольно громоздко. Для последних операций (а также для возведения в степень и извлечения корня) удобнее полярная форма комплексного числа:

которая получается из (2) переходом к полярным координатам (в такой форме можно представить любое комплексное число Полярные координаты комплексного числа полярный радиус и полярный угол т. е. угол между положительным направлением оси х и вектором соответственно называются его модулем и аргументом и обозначаются символами

модуль определяется однозначно, а аргумент — с точностью до слагаемого, представляющего собой целое кратное Для простоты письма введем сокращенное обозначение:

(мы пользуемся здесь тем, что действие возведения числа в мнимую степень не определено и поэтому принятый символ вакантен), тогда полярная форма (7) примет компактный вид:

Пользуясь элементарными формулами тригонометрии и определением умножения (4), мы получим соотношение

которое показывает естественность принятого сокращенного обозначения (9). Соотношение (11) гласит, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Так же просто выражается в полярной форме и операция деления комплексных чисел:

(если, конечно,

В некоторых вопросах удобно компактифицировать множество комплексных чисел С. Это делается добавлением к нему идеального элемента, который называется бесконечной точкой . В отличие от конечных точек бесконечная точка не участвует в алгебраических действиях. Компактифицированную плоскость комплексных чисел (т. е. плоскость С, пополненную бесконечной точкой) мы будем называть замкнутой плоскостью и обозначать символом С. Когда нужно подчеркнуть различие, будем называть С открытой плоскостью.

Описанную компактификацию можно сделать наглядной, если вместо изображения комплексных чисел точками плоскости воспользоваться их сферическим изображением. Для этого выберем в трехмерном евклидовом пространстве прямоугольную декартову систему координат , оси которой соответственно совпадают с осями х и у, и рассмотрим в этом пространстве сферу

диаметра 1, касающуюся плоскости в начале координат (рис. 1). Каждой точке поставим в соответствие точку пересечения с луча, соединяющего «северный полюс» сферы с точкой 2.

Такое соответствие называется стереографической проекцией. Подставляя уравнение луча в (13), мы найдем, что в точке пересечения луча со сферой и получим уравнения стереографической проекции

Рис. 1.

Из последнего уравнения находим, что и тогда из первых двух получаем формулы для обратного отображения:

Из (14) и (15) видно, что стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками (очевидно, что точке не соответствует ни одной точки ). Условимся считать, что соответствует бесконечной точке и тем самым установим взаимно однозначное соответствие обычно мы будем отождествлять С со сферой которая называется сферой комплексных чисел или сферой Римана. Открытую плоскость С можно отождествлять с сферой с выколотой точкой (северным полюсом).

В соответствии с двумя описанными способами геометрического изображения комплексных чисел мы введем на множестве С две метрики. Первая из них — обычная евклидова метрика, в которой под расстоянием между двумя точками из С понимается

Во второй — сферической метрике — под расстоянием между понимается евклидово расстояние (в пространстве между их сферическими изображениями. После несложных выкладок с использованием формул (14) мы найдем сферическое расстояние между двумя точками

Эту формулу можно распространить и на множество С, положив

Очевидно, для любых имеем Легко проверить, что введение каждой из этих двух метрик превращает множество С в метрическое пространство, т. е. что при этом удовлетворяются обычные аксиомы расстояния. В частности, аксиома треугольника для метрики (16) равносильна известному неравенству

В заключение отметим, что на ограниченных множествах принадлежащих фиксированному кругу евклидова и сферическая метрики эквивалентны. В самом деле, если то, как видно из (17), для любых точек справедливо двойное неравенство

(подробнее об этом см. в следующем пункте). Поэтому сферическая метрика обычно применяется при рассмотрении неограниченных множеств. Как правило, мы будем рассматривать на множестве С евклидову метрику, а на С — сферическую.