5. Основная теорема Хартогса.

Здесь мы докажем теорему о том, что из голоморфности функции по каждому переменному

следует ее голоморфность по совокупности переменных, — об этой теореме уже шла речь в Там же было установлено, что для доказательства этой теоремы достаточно доказать, что всякая функция, голоморфная по каждому переменному, является непрерывной по совокупности переменных, т. е. обладает свойством

Доказательству мы предпошлем ряд лемм. Первая из них утверждает, что достаточно установить лишь ограниченность рассматриваемой функции. При этом нам понадобится лемма Шварца в виде несколько более общем, чем в

Пусть функция голоморфна в круге причем в некоторой точке всюду в тогда всюду в

(при получаем обычную формулировку). Для доказательства возьмем дробно-линейное отображение на единичный круг

обозначим через обратное отображение и рассмотрим функцию Она удовлетворяет условиям обычной леммы Шварца, и по этой лемме всюду в Заменяя здесь 2 на получим неравенство (1).

Лемма 1. Если функция голоморфна по каждому переменному в поликруге и ограничена в то она непрерывна в каждой точке по совокупности переменных.

Пусть произвольные точки; распишем приращение как сумму приращений по отдельным координатам

и рассмотрим слагаемое как функцию переменного при фиксированных остальных значениях аргументов. Если то функция удовлетворяет условиям леммы Шварца в только что приведенной форме, и, применяя неравенство

(1) к каждому слагаемому суммы (2), мы найдем, что

Отсюда и следует утверждение

Итак, для доказательства теоремы Хартогса остается доказать ограниченность в некотором поликруге с центром в а функции, голоморфной по каждому переменному. Заметим, что ограниченность в каком-то поликруге, не обязательно с центром в а, следует из одной лишь непрерывности по отдельным переменным. Этот факт составляет содержание так называемой леммы

Рис. 80.

Отсюда:

Лемма 2. Представим поликруг как произведение на круг Если функция непрерывна по для любой и непрерывна по для любой то существует поликруг в котором ограничена (см. диаграмму Хартогса на рис. 80).

Для фиксированного обозначим

и рассмотрим множества Эти множества замкнуты, ибо если то и (в самом деле, для любого в силу непрерывности f по тогда и для любого т. е. Очевидно, образуют возрастающую последовательность и любая точка принадлежит всем начиная с некоторого.

Существует содержащее некоторую область . В самом деле, в противном случае все были бы нигде не плотными, но тогда в существовал бы шар свободный от точек в В — шар свободный мы построили бы последовательность шаров которые имеют общую точку и эта точка не принадлежала бы никакому

Таким образом, существует область в которой для любого Остается выбрать в поликруг и тогда в будет

Чтобы доказать ограниченность в поликруге с центром в придется использовать голоморфность по отдельным переменным. При этом нам потребуется лемма Хартогса, существенно опирающаяся на свойства субгармонических функций. Для ее формулировки введем следующие обозначения: скаляры, (рис. 81).

Лемма 3. Если функция голоморфна по z в для любого и голоморфна по то она голоморфна во всем поликриге

Рис. 81.

Без ограничения общности считаем Для любого фиксированного и любого функция представляется (в силу голоморфности по ) сходящимся степенным рядом

где Коэффициенты этого ряда

голоморфны в круге как производные голоморфной по функции (точка ( Поэтому функции субгармоничны в

Выберем произвольно число так как для любого

при то для любого найдется начиная с ко» торого будет т. е.

Теперь воспользуемся голоморфностью ограничена в (пусть ), и справедливы неравенства Коши

для любого Поэтому для любого и любого

Таким образом, рассматриваемые субгармонические функции удовлетворяют условиям теоремы о верхнем пределе , По этой теореме для любого можно найти номер такой, что для всех и всех имеем

Отсюда следует, что ряд (3) сходится равномерно в любом поликруге но члены этого ряда непрерывны по поэтому и его сумма непрерывна, а следовательно, ограничена в Этот поликруг можно считать сколь угодно близким к V, а так как V с самого начала можно было немного увеличить, то ограничен и, значит, по лемме 1 и утверждению 4° из голоморфна в 7

Теперь все готово для доказательства основной теоремы.

Теорема Хартогса. Если функция голоморфна в любой точке области по каждому из переменных то она голоморфна в

Достаточно доказать голоморфность в произвольной точке причем без ограничения общности можно считать, что Итак, пусть голоморфна по каждому переменному в поликруге требуется доказать, что она голоморфна в некотором поликруге с центром в 0.

Это утверждение будем доказывать индукцией по числу комплексных переменных. Для одного переменного оно тривиально; предположим, что оно верно для функций переменного, и обозначим Из предположения следует, что функция непрерывна любого и по для любого По лемме Осгуда ограничена, а значит, и голоморфна в некотором поликруге где (рис. 82).

Рассмотрим теперь поликруг Очевидно, следовательно, голоморфна по в V

для любого а по только что доказанному она голоморфна по По лемме Хартогса отсюда следует, что она голоморфна по и в поликруге V, который уже содержит точку Таким образом, утверждение доказано и для функций переменных

Приведем еще одну формулировку теоремы Хартогса.

Рис. 82.

Будем говорить, что функция голоморфна в точке в смысле Римана, если

(R) голоморфна по каждому переменному в некотором поликруге

Будем говорить, что голоморфна в этой точке в смысле Вейерштрасса, если

(W) разлагается в некотором поликруге в степенной ряд

Импликация очевидна, импликация составляет содержание основной теоремы Хартогса. Эту теорему можно, следовательно, сформулировать так:

Понятия голоморфности в смысле Римана и в смысле Вейерштрасса эквивалентны.