38. Решение второй проблемы Кузена.

Из рассуждений, проведенных в п. 33, видно, что разрешимость второй проблемы Кузена зависит также от некоторых топологических свойств рассматриваемой области. Мы приведем теорему, в которой эти свойства выражаются как условие тривиальности второй группы когомологий с коэффициентами в пучке целых чисел:

Теорема 1 (Серр). В области голоморфности любая вторая проблема Кузена разрешима, если

где Z - {постоянный) пучок аддитивных групп целых чисел.

Рассмотрим точную последовательность пучков мультипликативных групп

где 0 — тривиальный пучок, все ростки которого принадлежат нейтральному элементу (единице) этих групп. Ей отвечает точная последовательность

Условие разрешимости рассматриваемой проблемы состоит в том, что для любого заданного элемента группы т. е. некоторых согласованных данных второй проблемы Кузена, найдется элемент соответствующий заданному при отображении

Иными словами, условие разрешимости состоит в том, что (4) является отображением на Так как последовательность (3) точна, то это условие сводится к тому, что

Придадим этому условию другую форму. Для этого рассмотрим еще одну точную последовательность

где пучок аддитивных групп целых чисел, гомоморфизм вложения, а гомоморфизм пучка 0 аддитивных

групп в пучок мультипликативных групп. Соответствующая ей последовательность

также точна, а так как область голоморфности, то здесь крайние группы тривиальны. Отсюда следует, что средние группы изоморфны, и в силу условия (1) равенство (5) действительно имеет место

Замечание. Из доказательства видно, что для разрешимости конкретной второй проблемы, соответствующей некоторому сечению из необходимо и достаточно, чтобы образ этого сечения при отображении

был нулем группы Серр доказал также, что для областей голоморфности а всегда является отображением на (более того, для любого элемента найдется соответствующий ему элемент состоящий только из ростков голоморфных функций). Таким образом, если группа то найдется сечение из для которого проблема неразрешима, т. е. для областей голоморфности условие (1) и необходимо для разрешимости любой второй проблемы.

Заметим еще, что существуют многообразия, которые не являются областями голоморфности, хотя вторая проблема Кузена на них разрешима. Примером служит область пространства она не является областью голоморфности, но можно доказать, что в ней любая вторая проблема Кузена разрешима. Из теоремы 3 предыдущего пункта видно, что служит также примером области, в которой разрешима вторая, но неразрешима первая проблема Кузена. В области из примера предыдущего пункта разрешимы и первая и вторая проблемы Кузена, хотя сама не является областью голоморфности. Разрешимость второй проблемы следует из того, что так как гомеоморфна шару.

Простым следствием теоремы Серра является

Теорема 2 (Ока). поликруговая область из для которой все области кроме, быть

может, одной, односвязны, то в разрешима любая вторая проблема Кузена.

Прежде всего, очевидно, является областью голоморфности. Пусть односвязные области, тогда ибо группы когомологий с целыми коэффициентами не меняются при (декартовом) умножении на односвязную плоскую область (мы не останавливаемся на доказательстве этого топологического факта). Но для любой плоской области группа тривиальна (это следует хотя бы из теоремы Вейерштрасса из ; поэтому

Замечание. Из теоремы 2 следует, в частности, что вторая проблема Кузена разрешима в любой односвязной поликруговой области. Но для произвольных областей голоморфности односвязность еще не гарантирует разрешимости этой проблемы, вот соответствующий пример (Серр). Область

является областью голоморфности, ибо в каждой точке существует барьер: функция не ограничена при Область односвязна, ибо она гомеоморфна произведению поверхности на единичный круг. Тем не менее в разрешима не всякая вторая проблема Кузена, например, можно доказать, что не существует голоморфной в функции, которая обращается в нуль на одной из двух компонент пересечения с аналитической плоскостью и только на этой компоненте

Приведем еще одну формулировку второй проблемы Кузена. Назовем дивизором А на -мерном аналитическом многообразии любую целочисленную линейную комбинацию -мерных подмногообразий из Если все коэффициенты в этой комбинации положительны, то дивизор называется положительным. Для любой функции мероморфной на и не равной тождественно нулю, т. е. принадлежащей можно определить ее дивизор, который обозначается через и представляет собой комбинацию многообразий нулей с положительными коэффициентами (порядками) и ее полярных множеств с отрицательными коэффициентами (равными порядкам)

со знаком минус). Дивизоры голоморфных функций положительны.

Если две функции где имеют одинаковый дивизор, то их частное является голоморфной функцией в отличной от нуля; верно и обратное. Поэтому элементы факторпучка можно отождествить с ростками дивизоров. Вторая проблема Кузена теперь формулируется так: на многообразии задан произвольный дивизор найти функцию дивизор которой

В этой формулировке особенно отчетливо видно, что вторая проблема Кузена обобщает задачу о построении мероморфной функции с заданными нулями и полюсами.

Как и в случае одного переменного, доказывается, что на любом многообразии на котором разрешима вторая проблема Кузена, каждая мероморфная функция представляется как отношение голоморфных функций. Пользуясь результатом Серра, который сформулирован в замечании после теоремы 1, можно доказать, что это верно и для любой области голоморфности: справедлива

Теорема 3. Каждая функция мероморфная в области голоморфности представляется в как отношение голоморфных функций.

Представим дивизор функции в виде разности двух положительных дивизоров из возьмем элемент пользуясь цитированным результатом Серра найдем положительный дивизор такой, что о Так как а — гомоморфизм, то а следовательно (по замечанию после теоремы 1), соответствующая проблема Кузена разрешима и существует функция дивизор которой Но этот дивизор положителен, следовательно, функция голоморфна. Рассмотрим, наконец, дивизор произведения ; он тоже положителен, следовательно, и функция голоморфна на Данная функция