38. Теорема Римана.

Любая односвязная область граница которой содержит более одной точки, изоморфна единичному кругу

Идея доказательства такова. Рассмотрим семейство голоморфных и однолистных в функций по модулю ограниченных 1 (т. е. осуществляющих конформное отображение в единичный круг Фиксируем точку и будем искать в семействе функцию, для которой растяжение в точке а максимально. Выделив компактную в себе часть семейства и пользуясь непрерывностью функционала мы можем утверждать, что существует функция с максимальным растяжением в точке а. Наконец, мы убедимся в том, что реализует отображение на круг (а не только в как остальные функции семейства).

Такой вариационный метод, когда ищется функция, обладающая тем или иным экстремальным свойством, часто применяется в теории функций.

а) Докажем, что в существует хотя бы одна голоморфная и однолистная функция, ограниченная 1 по модулю. По условию граница содержит две различные точки ; корень квадратный продолжается аналитически вдоль любого пути в области и так как односвязна, то по теореме о монодромии этот корень допускает выделение в двух однозначных ветвей отличающихся знаком.

Каждая из этих ветвей однолистна в ибо из равенства или 2) следует равенство

а из него, в силу однолистности дробно-линейной функции, равенство Эти ветви отображают соответственно на области которые не имеют общих точек, ибо в противном случае нашлись бы точки такие, что но из последнего равенства снова следует (1), а из него — равенство т. е. мы пришли к противоречию, ибо

Область содержит некоторый круг значит, не принимает в значений из этого круга. Поэтому функция

очевидно, голоморфная и однолистная в ограничена: для всех имеем

б) Обозначим через семейство всех голоморфных и однолистных в функций, по модулю ограниченных 1. Это семейство непусто, ибо содержит функцию и по теореме Монтеля

компактно. Часть семейства состоящая из всех функций для которых

в некоторой фиксированной точке компактна в себе. В самом деле, по следствию теоремы 5 из предыдущего пункта предел последовательности функций сходящейся на любом может быть лишь однолистной функцией (и тогда принадлежать к 5 либо постоянной, но последний случай исключен неравенством (3).

Рассмотрим на функционал

По доказанному в предыдущем пункте он непрерывен, и, следовательно, существует функция реализующая его максимум, т. е. такая, что

в) Так как функция то она конформно отображает в единичный круг Покажем, что противном случае в нашлась бы функция

для которой

вопреки экстремальному свойству (4) функции

Покажем, наконец, что отображает на весь круг . В самом деле, пусть не принимает в некоторого значения так как то Но и значение не принимается этой функцией в D (ибо ), следовательно, по теореме о монодромии в можно выделить однозначную ветвь корня

которая принадлежит (однолистность проверяется точно так же, как в справедливость неравенства очевидна). Но тогда принадлежит и функция

для которой

Но ибо т. е. вопреки экстремальному свойству функции