§ 2. Понятие голоморфности

3. Определение голоморфности.

Пусть в области задана комплексная функция Пользуясь понятаями окрестности, введенными в пространстве теории функций и замкнутой плоскости С мы обычным образом определяем понятия предела и непрерывности в точке и в области (см. п. 3 ч. I).

Чтобы ввести дальнейшие ограничения на функцию предположим, что состоит из конечных точек и что принимает в лишь конечные значения Предположим, что дифференцируема в точке в смысле действительного анализа (в смысле т. е. что существует дифференциал

Введя комплексные переменные по формулам

мы можем формально переписать (1) в виде

где положено для

Определение 1. Функция определенная в некоторой окрестности точки называется дифференцируемой в этой точке в смысле комплексного анализа (в смысле ), если она дифференцируема в ней в смысле и в этой точке

т. е. дифференциал имеет вид

Заметим, что условия (5) комплексной дифференцируемости содержат действительных уравнений относительно двух действительных функций Таким образом, при эта система дифференциальных уравнений переопределена: число уравнений в ней больше числа рассматриваемых функций. С некоторых точек зрения в качестве пространственного аналога комплексной функции одного комплексного переменного естественнее рассматривать не одну, а комплексных функций от комплексных переменных, т. е. вектор-функцию вектора Однако и это не спасает положения: записывая условия (5) для каждой компоненты мы получим систему действительных уравнений относительно действительных функций, т. е. систему, также переопределенную при

Переопределенность условий комплексной дифференцируемости функций нескольких переменных влечет за собой ряд принципиальных отличий пространственной теории от плоской; с некоторыми из них мы познакомимся в дальнейшем изложении. Отметим, что переопределенные системы играют важную роль в теории уравнений с частными производными и что система (5) является одним из основных примеров таких систем.

Определение 2. Функция, дифференцируемая в смысле

О в каждой точке некоторой окрестности точки называется голоморфной в точке Функция, голоморфная в каждой точке некоторого открытого множества (в частности, области), называется голоморфной на множестве

Заметим, что при определении понятия голоморфности на произвольном (не обязательно открытом) множестве имеется тонкость, которая видна из следующего примера.

Пример. Пусть множество состоит из двух замкнутых шаров соединенных отрезком Определим на функцию

Она, очевидно, непрерывна на и для каждой точки можно построить окрестность в которую f продолжается,

как голоморфная функция. В самом деле, для точек включая точку пересечения в качестве таких окрестностей можно взять шары, не пересекающие с и продолжить в них положив ее равной Для точек сделаем аналогичное построение, только положим Наконец, для внутренних точек возьмем шары, не содержащие концов этого отрезка, и положим в них Однако из теоремы единственности, которую мы докажем в п. 6, следует, что нельзя продолжить до голоморфной функции ни в какую связную окрестность Я всего множества . В самом деле, из этой теоремы следует, что не существует голоморфной в Я функции, которая на одном шаре из Я равна а в другом

Из этого примера видно, что необходимо различать локально голоморфные на множестве функции, которые в каждой точке множества можно локально продолжить до голоморфной функции, и функции глобально голоморфные, которые продолжаются до функций, голоморфных в окрестности всего множества. В дальнейшем, говоря о голоморфности функции на множестве, мы, как правило, будем иметь в виду глобальную голоморфность.

Очевидно, сумма и произведение двух функций, дифференцируемых (в смысле в некоторой точке также дифференцируемы в этой точке, поэтому дифференцируемые в точке функции образуют кольцо. В частности, функции, голоморфные в некоторой области образуют кольцо, которое мы будем обозначать символом

Справедливо также правило дифференцирования сложных функций, которое мы сформулируем в следующих двух видах. Пусть функция дифференцируема в смысле в точке

(I) Если функция дифференцируема в в смысле С, то дифференцируема в смысле в точке

(II) Если функции дифференцируемы в смысле в точке причем то функция дифференцируема в смысле в точке

В частности, пусть голоморфна в некоторой области аналитическая прямая, пересекающаяся с (т. е. совокупность линейных функций переменного таких, что хотя бы одно значение Тогда сужение на эту прямую (т. е. сложная функция голоморфно, как функция одного комплексного переменного на том открытом множестве плоскости , которое попадает в при отображении

Еще более частный случай мы получим, если рассмотрим аналитические прямые, «параллельные оси», т. е. прямые

Для этого случая сделанное только что утверждение означает, что если голоморфна в области то функция будет голоморфной, как функция одного комплексного переменного, на соответствующем открытом множестве плоскости . Иными словами, функция, голоморфная в области является голоморфной (в смысле С) функцией по каждой координате в отдельности.

Оказывается, что справедливо и обратное утверждение: если функция в некоторой области голоморфна по каждому переменному в отдельности, то она автоматически будет дифференцируемой в в смысле по совокупности переменных и, следовательно, голоморфной в смысле определения 2. Этот важный факт составляет содержание так называемой основной теоремы Хартогса и является далеко не тривиальным. Нетривиальность этой теоремы видна хотя бы из что ее действительный аналог неверен. В самом деле, из существования частных производных функции действительных переменных не следует даже непрерывности этой функции. Вот хорошо известный пример: функция разрывна в начале координат, хотя ее частные производные (всех порядков) всюду существуют. В некотором смысле теорема Хартогса представляет собой аналог утверждения о том, что функция нескольких переменных, которая является многочленом по каждому переменному, будет многочленом и по совокупности переменных (см. задачу 16 в конце главы).

Теорему Хартогса мы докажем в Здесь же мы приведем перечень элементарных свойств голоморфных функций нескольких переменных, аналогичных свойствам функций одного переменного. Впрочем, нам удобнее вместо голоморфности рассматривать более общее условие:

(А) Функция непрерывна в области по совокупности переменных и в каждой точке голоморфна по каждой координате.

(Мы сейчас же убедимся, что из этого условия вытекает и дифференцируемость по совокупности переменных, т. е. голоморфность функции. После доказательства теоремы Хартогса станет ясным, что требование непрерывности излишне, ибо оно вытекает из голоморфности по каждому переменному.)

1°. Если фунщия f удовлетворяет условию в замкнутом поликруге то в каждой точке

она представляется кратным интегралом Коши

где остов поликруга, т. е. произведение граничных окружностей .

При любом где обозначают проекции в пространство функция голоморфна в круге следовательно, по интегральной формуле Коши из

При любом и любом функцию, стоящую под знаком интеграла, можно представить интегралом Коши по переменному причем в силу непрерывности по совокупности переменных повторный интеграл можно представить как кратный по произведению Продолжая это рассуждение, мы и придем к

В дальнейшем мы будем записывать формулу (8) в сокращенном виде:

где будем считать

Так же как в из представления функции интегралом Коши выводится возможность разложения ее в степенной ряд. Для этого разложим ядро интеграла (9) в кратную геометрическую прогрессию:

где - целочисленный вектор, и

Разложение это можно переписать в виде

где при любом сходится абсолютно и равномерно по на Умножая его на непрерывную (и, следовательно, ограниченную) на функцию и интегрируя по почленно, мы и получаем нужное утверждение:

2°. Если функция f удовлетворяет условию в замкнутом поликруге то в каждой точке она представляется кратным степенным рядом

с коэффициентами

где целочисленный вектор

3° (Теорема Абеля). Если степенной ряд (10) сходится в какой-либо точке то на любом множестве этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Из сходимости ряда в точке следует ограниченность его членов в этой точке: для всех Обозначим

тогда в любой точке будет где истается заметить, что кратная прогрессия сходится

Так как члены степенного ряда непрерывны по совокупности переменных, а дифференцирование по любому переменному не нарушает его сходимости, то из 2° и 3° следует

4°. Если функция f удовлетворяет условию в замкнутом поликруге то в каждой точке она имеет частные производные всех порядков, непрерывные по совокупности переменных.

В частности, отсюда следует, что любая функция, удовлетворяющая условию дифференцируема по совокупности переменных, т. е. голоморфна, а также что все частные производные голоморфной функции голоморфны.

Обычным образом доказывается теорема единственности разложения функции в степенной ряд с данным центром:

5°. Если голоморфная в точке а функция разложена в степенной ряд вида (10), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам Тейлора:

где

Пользуясь формулами (11) для тех же коэффициентов и оценивая входящие в них интегралы, получим

6° (Неравенства Если функция голоморфна в замкнутом поликруге на его остове то коэффициенты тейлоровского разложения в точке а удовлетворяют неравенствам

где

В заключение остановимся на понятии голоморфности в бесконечных точках, для чего, как и в теории функций одного переменного, воспользуемся простыми преобразованиями, переводящими бесконечные точки в конечные. Эти преобразования, однако, для пространств выбирают -разному.

В случае пространства теории функций такими преобразованиями служат дробно-линейные преобразования отдельных переменных: функция называется голоморфной в бесконечной точке , если функция

голоморфна в точке

В случае комплексного проективного пространства поль зуются так называемыми проективными преобразованиями, которые в однородных координатах имеют вид

или в матричной записи

(здесь векторы, а матрица). Такими преобразованиями бесконечные точки Р (для которых можно, очевидно, перевести в конечные

Функциями точек будут такие функции которые не меняются при замене на , где однородные функции (напомним, что точками служат классы эквивалентных наборов , а не сами эти наборы). Голоморфность функции в конечной точке понимают как голоморфность в точке для которой служат однородными координатами, т. е. в точке Под голоморфностью в бесконечной точке из понимается голоморфность функции в соответствующей конечной точке (в которую проективное преобразование переводит данную бесконечную)