7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация.

Начнем с выяснения геометрического смысла комплексной дифференцируемости. Если функция дифференцируема в смысле в точке то в окрестности этой точки отображение можно приблизить с точностью до малых высшего порядка относительно аффинным отображением

которое можно записать в комплексной форме

(производные в (1) и (2) берутся в точке 20). Это отображение мы будем называть касательным к отображению в точке

Якобиан отображения в рассматриваемой точке выражается через комплексные производные:

(для доказательства проще всего подставить в правую часть (3) выражения и из формул (4) предыдущего пункта).

Если то касательное отображение (2) не вырождено. Это отображение преобразует параллельные прямые в параллельные, но, вообще говоря, не сохраняет углы, так что квадраты переходят в параллелограммы; окружности оно преобразует в эллипсы.

Предположим теперь, что функция в точке дифференцируема в смысле С. Тогда в этой точке существует производная и касательное отображение (2) принимает вид

Если то это отображение сводится к растяжению вектора раз и к повороту его на угол (см. правило умножения комплексных чисел в . Оно сохраняет ориентацию и обладает еще следующими свойствами: сохраняет углы, квадраты преобразует в квадраты, окружности преобразует в окружности. Легко видеть, что каждое из свойств влечет за собой остальные два.

Определение. Дифференцируемое в смысле в точке отображение называется конформным в этой точке, если касательное к в точке отображение сохраняет ориентацию и обладает одним из свойств Отображение конформно в области если оно взаимно однозначно и конформно в каждой точке

Мы доказали, что если функция дифференцируема в смысле С в точке то отображение конформно в этой точке.

Обратно, пусть отображение конформно в точке Возьмем два вектора: касательное отображение (2) преобразует их соответственно в векторы и . В силу конформности отображения второй из них получается из первого поворотом на прямой угол против часовой стрелки, т. е.

Отсюда следует, что в точке мы имеем т. е. существует а так как касательное к конформному отображению не вырождено, то

Таким образом, комплексная дифференцируемость функции в точке вместе с условием геометрически означает конформность отображения в этой точке.

Замечание. Если отображение дифференцируемо в смысле в точке а отображение, касательное к нему в этой точке, обладает одним из свойств но меняет ориентацию на противоположную, то оно называется конформным отображением второго рода или антиконформным в этой точке. Легко видеть, что таким свойством будет обладать отображение сопряженное к отображению, дифференцируемому в смысле С в точке если

Функцию сопряженную к голоморфной в некоторой точке функции мы будем называть антиголоморфной в этой точке. Очевидно, условие антиголоморфности функции в точке состоит в том, что дифференцируема в смысле в некоторой окрестности и что в этой окрестности выполняется соотношение

Мы видели, что модуль производной геометрически означает коэффициент растяжения, а ее аргумент — угол поворота отображения, касательного к в точке Приведем теперь геометрическую иллюстрацию производной в терминах самого отображения (а не касательного к нему). Для этого предположим, что производная существует и непрерывна в окрестности точки

Рассмотрим непрерывно дифференцируемый путь с началом в точке (см. п. 3) такой, что для всех Отображение переводит его в путь также непрерывно дифференцируемый, ибо по правилу дифференцирования сложных функций

существует и непрерывна для всех Обозначим так как существует производная то существует и

Но так как пути у и у спрямляемы, то при а представляют собой бесконечно малые, эквивалентные соответственно длинам дуг у и у, которые отвечают отрезку . Поэтому последнее соотношение можно переписать в виде

Таким образом, геометрически означает коэффициент растяжения длин в точке при отображении Как видно из (7), этот коэффициент не зависит от выбора пути с началом в точке Иными словами, все пути с началом растягиваются в этой точке одинаково, т. е. бесконечно малая окружность с центром в переходит в кривую, отличающуюся от окружности с центром в на малые высших порядков (круговое свойство, см. рис. 9).

Рис. 9.

Предположим теперь еще, что будем считать и всюду в а в качестве у возьмем гладкий путь (т. е. будем считать для из (6) видно, что и соответствующий путь у также будет гладким. Тогда углы наклона к действительным осям хорд при а будут стремиться соответственно к углам и наклона касательных к в точках т. е. при надлежащем выборе значений аргументов существуют

Положим тогда существует

Таким образом, геометрически означает угол поворота пути в точке при отображении Из (8) видно, что этот угол не зависит от выбора пути у с началом в точке все пути с началом поворачиваются на одинаковый угол, т. е. угол между любыми двумя путями у и с началом сохраняется при отображении (свойство сохранения углов, см. рис. 9).

Выясним теперь гидродинамический смысл комплексной дифференцируемости и производной. Рассмотрим установившееся плоскопараллельное течение жидкости. Это означает, что векторы скорости V этого течения не зависят от времени и одинаковы во всех точках каждого перпендикуляра к некоторой плоскости, которую мы примем за плоскость комплексного переменного . Таким образом, наше поле полностью описывается плоским векторным полем

Предположим, что в окрестности некоторой точки функции обладают непрерывными частными производными. Кроме того, будем считать, что в этой окрестности поле (9) потенциально, т. е.

и соленоидально, т. е.

(равенства (10) и (11) справедливы для всех точек 11).

Рис. 10.

Из условия потенциальности (10) следует, что в окрестности дифференциальная форма является точным дифференциалом некоторой функции которая называется потенциальной функцией поля. Таким образом, в имеем

или, в векторной записи,

Из условия соленоидальности (11) следует, что и форма — является точным дифференциалом некоторой функции так что в имеем

На линии уровня функции имеем откуда видно, что эта линия является векторной

линией поля V, т. е. линией тока (траекторией частиц жидкости). Поэтому называется функцией тока.

Построим теперь комплексную функцию

которая называется комплексным потенциалом поля. Сравнивая соотношения (12) и (13), мы видим, что в выполняются условия

Они совпадают с условиями комплексной дифференцируемости (6) из следовательно, показывают, что комплексный потенциал является функцией, голоморфной в точке

В векторном анализе доказывается, что и обратно, любую голоморфную в точке функцию можно рассматривать как комплексный потенциал векторного поля потенциального и соленоидального в окрестности которое можно трактовать как поле скоростей некоторого течения жидкости.

Таким образом, голоморфность функции означает, что эту функцию можно трактовать как комплексный потенциал плоскопараллельного установившегося течения жидкости, потенциального и соленоидального.

Нетрудно выяснить и гидродинамический смысл производной: имеем

т. е. производная комплексного потенциала представляет собой вектор, комплексно сопряженный вектору скорости течения.

Пример. Найдем комплексный потенциал бесконечно глубокого течения над плоским дном, обтекающего препятствие высотой перпендикулярное к дну. Это плоскопараллельное течение описывается течением в верхней полуплоскости, обтекающим отрезок длины который без ограничения общности можно считать лежащим на мнимой оси.

Течение, таким образом, рассматривается в области граница которой состоит из действительной оси и отрезка мнимой оси (рис. 11). Эта граница должна быть линией тока; мы примем ее за линию и будем считать, что всюду в функция Для отыскания комплексного потенциала достаточно, следовательно, найти конформное отображение на верхнюю полуплоскость

Одну из функций, реализующих такое отображение, можно получить следующим образом. Отображение переводит в плоскость с вырезанным лучом (см. пример в п. 5). Отображение сдвигает этот луч в положительную полуось Если мы возьмем теперь отображение, обратное к возведению в квадрат:

которое однозначно определено условием то в качестве образа плоскости с вырезанной положительной полуосью мы получим верхнюю полуплоскость.

Рис. 11.

Остается взять композицию рассмотренных отображений

и мы получим искомое отображение.

Уравнение линий тока при этом течении мы получим, отделяя действительные и мнимые части в соотношении для линии будем иметь

(соответствие линий тока изображено на рис. 11). Скорость рассматриваемого течения

в бесконечности она равна 1. Можно доказать, что общий вид решений рассматриваемой задачи

где — скорость течения в бесконечности. Подробнее о применении конформных отображений в гидродинамике см., например, книгу М. А. Лаврентьева и автора.