Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
39. Решение д-проблемы и проблемы Леви.В начале этого параграфа мы сформулировали теорему II, которая решает для областей голоморфности так называемую
Требуется найти форму
Так как Мы будем решать эту проблему для областей Для первого шага нам понадобятся некоторые обозначения. Через
превращает 1. Сведение к оценкам. Оператор Обозначим через
Из этого равенства видно, что
Так как
где с — константа, не зависящая от А, то из неравенства
будет следовать ограниченность линейного функционала
Итог наших рассуждений подводит Лемма 1. Если множество
с той же постоянной с, что и в (5). Ввиду (5) пространство I. Мы докажем сейчас, что при некоторых ограничениях на функцию
то
где
и
Обозначим
где Лемма 2. Если удовлетворяет условию (9), то формы класса Обозначим через
Функция
принадлежат
то
где Так как операторы Следствие. Если Таким образом, оценку (5) достаточно получить для форм из II. Оценки в псевдовыпуклых областях. Для оценки нормы оператора
где
и пользуясь (11), мы получаем
Перебрасывая в последнем интеграле
где
и мы теперь можем доказать следующую теорему существования: Теорема 1 (Хёрмандер). Пусть
Если область
где Обозначим через А, функцию класса получаем, что Из равенства (12), где вместо
Если область
Функция Замечание. Последовательность и этим условием форма
Лемма 3. Если функция Пусть область
и
так как Случай любого а функция Случай
где норма берется в
Это равенство справедливо для любой формы со, у которой Подберем
Таким образом, если Согласно лемме Соболева о вложении) всякая форма, удовлетворяющая (15), совпадает в Теорема 2 (Хёрмандер). Если область Эта теорема справедлива и для областей на многообразиях Штейна, причем для форм любой бистепени Замечание 1. Как видно из доказательства, мы брали Для любого компакта
где Замечание 2. Так как всякая область голоморфности является псевдовыпуклой В заключение приведем решение проблемы Леви, которая связывает локальные и глобальные свойства областей голоморфности (см. п. 24). Как мы убедились в п. 26, для решения этой проблемы нужно доказать, что любая псевдовыпуклая область является областью голоморфности; на основании теоремы 2 это вытекает из следующей теоремы: Теорема 3 (Хёрмандер). Пусть Мы будем доказывать это индукцией по областью голоморфности; предположим, что оно справедливо для областей из Нам нужно доказать, что для любого шара Символом
Рис. 115. Прежде всего докажем, что система
разрешима в классе Для этого рассмотрим множество
Так как Таким образом, доказана Теорема (Ока). Любая псевдовыпуклая область Как показывает теорема 3, условие псевдовыпуклости области Мы закончим этот параграф доказательством еще одного критерия для областей голоморфности. Теорема 4. Область Согласно теореме ЗАДАЧИ(см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|