20. Понятие области голоморфности.

Как мы несколько раз отмечали, в пространстве не всякая область является областью существования голоморфной функции — имеются области, из которых каждая голоморфная функция аналитически продолжается в более широкую область. Мы хотим с самого начала подчеркнуть, что в пространстве, как и на плоскости, в процессе такого продолжения расширяющаяся область может начать налегать на самое себя, образуя второй слой, в котором функция принимает другие значения, чем в первом слое. Мы приходим, таким образом, к необходимости рассматривать «многолистные» области, аналогичные римановым поверхностям аналитических функций одного переменного. Подробнее мы рассмотрим многолистные области в § 9. Сейчас мы только приведем пример, из котороговидно, что необходимость в таких областях может возникнуть и в процессе «принудительного» аналитического продолжения.

Рис. 97.

Пример. Пусть область, диаграмма Хартогса которой изображена на рис. 97, это цилиндр с выброшенными квадратами и сектором По теореме Хартогса каждая функция аналитически продолжается через сектор как сверху вниз, так и снизу вверх. В самом деле, рассмотрим, например,

первый способ продолжения (сверху вниз): функция голоморфна в окрестности полукруга и отрезка где следовательно, продолжается на

При таком продолжении мы снова попадаем в область но функция не обязана принимать те же значения, которые она имела. В самом деле, рассмотрим, например, функцию где рассматривается непрерывная в ветвь корня, которая принимает положительные значения на оси Она, очевидно, голоморфна в и в точках диаграммы, которые проектируются в одну точку плоскости но расположены по разные стороны принимает различные по знаку значения (переходя из по мы должны изменить на . С другой стороны, продолжая через по теореме Хартогса (как описано выше), мы получим, что значения скажем, в точке В и ее продолжения в точке А должны быть одинаковыми.

Таким образом, продолжение привело нас к неоднозначной функции; не желая рассматривать такие функции, мы должны относить продолженные значения ко второму экземпляру области склеенному с первым по множеству Мы получим пример многолистной области из числа тех, о которых говорилось выше.

Введем теперь одно из важнейших понятий теории функций нескольких комплексных переменных.

Определение 1. Область называется областью голоморфности функции если голоморфна в и не продолжаема аналитически за пределы этой области в следующем смысле: для любой точки функция голоморфная в наибольшем поликруге не продолжается голоморфно ни в какой поликруг (радиусы скаляры). Область называется областью голоморфности, если она является областью голоморфности какой-либо функции.

Определение 2. Область строго содержащая область называется голоморфным расширением последней, если любая продолжается до функции, голоморфной в

Второе определение содержательно, когда не является областью голоморфности, т. е. лишь в пространственном случае. Интересную особенность этого случая выражает следующая простая

Теорема 1. Если является голоморфным расширением области то продолжение любой функции может принимать в лишь те значения, которые принимает в

Пусть, от противного, некоторая функция принимает какое-либо значение но не принимает его в Тогда функция очевидно, голоморфна в но непродолжаема аналитически в ибо в некоторой точке она обращается в бесконечность. Это противоречит определению

Следствие. Голоморфное расширение ограниченной области также является ограниченной областью.

По теореме 1 функции (координаты точки z) принимают в те же значения, что и в т. е.

Но так как ограничена, то правые части (1) конечны, следовательно, конечны и левые, т. е. ограничена

Как для дальнейшего развития теории, так и для приложений важно уметь находить в известном смысле максимальные голоморфные расширения данной области — так называемые оболочки голоморфности. Этой задачей мы займемся в § 9. А пока будем учиться характеризовать «нерасширяемые» области пространства т. е. области голоморфности (на плоскости любая область нерасширяема в принятом здесь смысле, так что поставленная задача интересна лишь при

Начнем с простых достаточных условий. Будем говорить, что в граничной точке области существует барьер, если для любого множества и любого найдется функция такая, что но в некоторой точке .

Очевидно, что если существует функция неограниченная в точке (т. е. такая, что по некоторой последовательности ), то в этой точке существует и барьер. В самом деле, для любых можно взять Обратное утверждение также справедливо, причем в следующей усиленной форме:

Теорема 2. Для любого множества точек, в которых существует барьер, найдется функция неограниченная во всех точках

Прежде всего заметим, что существует не более чем счетное множество точек всюду плотное на и что

функция, неограниченная на таком множестве, будет неограниченной и на Поэтому можно считать не более чем счетным множеством. В этом предположении мы построим последовательность так, чтобы каждая точка встречалась в ней бесконечно часто. Теперь для доказательства теоремы достаточно найти функцию и последовательность точек так, чтобы

Сначала мы построим компактное исчерпывание области т. е. возрастающую последовательность замкнутых множеств таких, что это делается точно так же, как при доказательстве леммы из Теперь мы построим последовательность натуральных чисел точек и функций так, чтобы для и любого выполнялись условия:

Это можно сделать по индукции: для берем в качестве — барьер в точке для множества и в качестве — точку в которой (она существует по определению барьера), затем выбираем так, чтобы (можно сделать по условию исчерпывания); теперь условия (2) выполнены при Пусть построение сделано для всех натуральных чисел до включительно; мы выбираем в качестве барьер в точке для множества (оно уже построено на шаге), находим точку в которой (определение барьера), и берем так, чтобы (условие исчерпывания). Условия (2) выполняются, и возможность нашего построения доказана.

Наконец, учитывая, что мы подбираем последовательность натуральных чисел (начиная так, чтобы выполнялось неравенство

и рассматриваем ряд

Для любого мы имеем при следовательно, ряд (4) равномерно сходится на Так как компактно исчерпывают то отсюда следует, что ряд (4) сходится всюду в и что его сумма (см. теорему Вейерштрасса из . Наконец, для любого мы имеем

откуда видно, что

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает достаточное условие для областей голоморфности:

Следствие. Если на всюду плотном множестве точек границы существует барьер, то является областью голоморфности.

Например, в каждой точке границы шара существует барьер, ибо существует функция

неограниченная в точке . Следовательно, шар является областью голоморфности. Этот пример обобщает

Теорема 3. Всякая выпуклая область является областью голоморфности.

В силу выпуклости для любой точки можно построить -мерную плоскость

проходящую через и такую, что лежит с одной ее стороны. В этой плоскости мы возьмем -мерную аналитическую плоскость

которая проходит через и не содержит точек Но тогда функция голоморфна в и не ограничена в , т. е. в существует барьер. По следствию является областью голоморфности

Однако условие выпуклости не является нзобходимым для области голоморфности. Это видно, например, из следующей теоремы:

Теорема 4. Если является областью голоморфности в пространстве аналогичной областью в пространстве то произведение является областью голоморфности в пространстве

Возьмем функцию не продолжаемую голоморфно в более широкую область, и такую же функцию Тогда функция и не продолжается голоморфно в более широкую область, чем Так как в любая область является областью голоморфности, а поликруговые области — это произведения плоских областей, то мы имеем

Следствие. Любая поликруговая область из является областью голоморфности.

В частности, произведение двух плоских областей из которых по крайней мере одна, скажем не выпукла, является областью голоморфности, хотя и не выпукла.

В следующем пункте мы введем обобщенное понятие выпуклости, которое менее наглядно, чем обычное, но зато дает необходимое и достаточное условие для областей голоморфности.