4. Плюригармонические функции.

Здесь мы рассмотрим вкратце действительные и мнимые части голоморфных функций. Начнем с простого замечания: если функция голоморфна в точке то в окрестности этой точки и поэтому функция дифференцируема в смысле в этой окрестности, и там для любого

Такие функции мы будем называть антиголоморфными в точке

Пусть голоморфна в точке тогда в силу этого замечания для ее действительной части в окрестности точки имеем Воспользуемся еще тем, что голоморфная функция имеет частные производные всех порядков, непрерывные по совокупности переменных (это будет доказано в . На этом основании можно утверждать, что существует — и что можно менять порядок дифференцирования, Таким образом, для любых мы имеем

Разделив действительные и мнимые части оператора в левой части (2):

мы получим, что условие (2) распадается на уравнений с частными производными второго порядка:

уравнения второй группы при тривиальны).

Определение. Функция класса в области удовлетворяющая в каждой точке уравнениям (3), называется плюригарионической в этой области.

При плюригармонические функции называют Ангармоническими; условия дигармоничности выражаются следующими четырьмя уравнениями:

Плюригармонические функции связаны с голоморфными функциями нескольких переменных так же, как гармонические с голоморфными функциями одного переменного. Именно, справедливы следующие две теоремы:

Теорема 1. Действительная и мнимая части функции голоморфной в области являются плюригармоническими в этой области.

Для действительной части теорема уже доказана. Так как вместе с и функция то теорема справедлива и для мнимой части

Обратная теорема справедлива, вообще говоря, лишь локально.

Теорема 2. Для любой функции и, плюригармонической в окрестности точки существует голоморфная в точке функция действительная (или мнимая) часть которой равна .

Дифференциальная форма называется замкнутой в некоторой области из если в этой области все и выполняются условия

Рассмотрим в дифференциальную форму

так как то ее коэффициенты принадлежат классу условия замкнутости этой формы имеют вид

и совпадают с условиями плюригармоничности (3).

Таким образом, форма (6) замкнута в 11. Но в действительном анализе доказывается, что каждая замкнутая форма локально точна, т. е. существует функция такая, что или

эта функция выражается интегралом

который не зависит от пути и при фиксированной точке является функцией от

В случае формы (6) мы имеем

и уравнения (7) совпадают с условиями комплексной дифференцируемости функции . Так как еще в некоторой окрестности точки то голоморфна в этой точке и

Голоморфная в точке функция имеет и своей мнимой частью

Первая группа уравнений (3) при дает

Складывая эти уравнения для найдем, что оператор Лапласа от функции и по переменным

Следовательно, плюригармонические функции составляют подкласс класса гармонических функций в пространстве (очевидно, правильный при

Естественно возникает вопрос об определении плюригармонической в некоторой области функции по заданным граничным значениям (задача Дирихле). Этот вопрос решается не так просто, как в случае гармонических функций. Мы проиллюстрируем возникающие трудности на примере одной из простейших областей — поликруга Так как согласно (8) плюригармоническая функция является гармонической по каждому переменному в круге то мы можем последовательно применять интеграл Пуассона из Мы получим для любого

где

— ядра Пуассона. Обозначая через

-мерное ядро Пуассона, через -мерный куб и через элемент объема, перепишем формулу Пуассона в следующем сокращенном виде:

В правую часть этой формулы входят лишь значения и на остове поликруга т. е. на -мерной части границы (вся граница -мерна). Отсюда ясно, что нельзя произвольно задавать значения плюригармонической функции и на всей границе поликруга. Если подставить в правую часть (10) значения какой-либо непрерывной на функции то функция определяемая в этой формулой, как нетрудно проверить, будет для всех удовлетворять уравнениям (8). Однако эта функция, вообще говоря, не будет удовлетворять другим уравнениям (3), т. е. не будет плюригармонической в Для плюригармоничности на значения нужно наложить дополнительные условия, на которых мы не останавливаемся.