2. Топология комплексной плоскости.

Мы ввели на множествах метрики, превращающие эти множества в метрические пространства. Теперь мы введем на рассматриваемых множествах топологии, соответствующие метрикам. Это делается указанием системы окрестностей.

Пусть произвольное число; под -окрестностью точки (в евклидовой метрике будем понимать круг радиуса с центром в этой точке, т. е. совокупность точек удовлетворяющих неравенству

Под -окрестностыо точки будем понимать совокупность точек для которых

Формула (18) из показывает, что неравенство равносильно неравенству следовательно, -окрестности бесконечной точки на плоскости соответствует внешность круга с центром в начале координат (пополненная точкой

Мы назовем множество из С (или С) открытым, если для любой его точки найдется окрестность принадлежащая этому множеству.

Легко проверить, что такое введение понятия открытости превращает в топологические пространства, т. е. что при этом выполняются обычные аксиомы.

В некоторых вопросах удобно пользоваться так называемыми проколотыми окрестностями, под которыми на соответственно понимаются множества точек удовлетворяющих неравенствам

В этом пункте мы рассмотрим основные топологические понятия, которыми будем постоянно пользоваться в дальнейшем.

Определение 1. Точка (соответственное) называется предельной точкой множества (соотв. С), если в любой проколотой окрестности в смысле топологии С (соотв. С) найдется по крайней мере одна точка из Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Множество, получающееся присоединением к всех его предельных точек, называется замыканием и обозначается символом

Пример. Множество всех целых чисел в С не имеет предельных точек (и, следовательно, замкнуто). В С оно имеет одну предельную точку не принадлежащую ( не является замкнутым в С).

В С любое бесконечное множество имеет по крайней мере одну предельную точку (принцип компактности).

Этот принцип, выражающий полноту сферы комплексных чисел, можно вывести из аксиомы полноты действительных чисел; мы опускаем это доказательство. В С принцип компактности не имеет места (это видно из приведенного выше примера). Он верен, однако, для бесконечных ограниченных множеств, т. е. множеств, лежащих в каком-либо круге Такие множества мы будем называть компактными.

Из неравенств (20) п. 1 следует, очевидно, что точка является предельной точкой множества в топологии С тогда и только тогда, когда она является предельной точкой в топологии С. Иными словами, при определении конечных предельных точек мы можем с равным успехом пользоваться как евклидовой, так и сферической метрикой. Именно в этом смысле надо понимать утверждение об эквивалентности этих метрик в конце

Определение 2. Последовательностью будем называть отображение в С (или С) множества целых неотрицательных чисел (иными словами — функцию целого неотрицательного аргумента, принимающую комплексные значения). Точку (или С) будем называть предельной точкой последовательности если в любой окрестности а в топологии С (или С) найдется бесконечно много элементов этой последовательности. Последовательность имеющую в С единственную предельную точку а, будем называть сходящейся к это будем записывать так:

Замечание. Между понятиями предельной точки последовательности и множества значений имеется различие. Например, последовательность имеет предельную точку а множество состоящее из одной точки предельных точек не имеет.

Мы предлагаем читателю доказать следующие утверждения:

1) последовательность сходится к а тогда и только тогда, когда для любого найдется натуральное число такое, что для всех выполняется неравенство (если или (если );

2) точка а тогда и только тогда является предельной для последовательности когда существует подпоследовательность сходящаяся к а.

Комплексное равенство (4), вообще говоря, равносильно двум действительным равенствам. Пусть тогда, не ограничивая общности, можно считать, что и и положить (для бесконечной точки понятия действительной и мнимой частей не имеют смысла); легко доказать, что (4) равносильно равенствам

В случае можно считать, что и и положить тогда (4) имеет место, если

и обратно, если (4) имеет место, то имеют место и соотношения (6), причем второе — при надлежащем выборе значений Если или то (4) равносильно одному соотношению или (поведение при этом несущественно).

Мы будем пользоваться иногда понятием расстояния между множествами понимая под этим нижнюю грань расстояний между любыми парами точек, одна из которых принадлежит а другая

вместо сферической метрики здесь можно, конечно, рассматривать и евклидову.

Теорема 1. Если замкнутые множества пересекаются то расстояние между ними положительно.

4. Пусть, от противного, По определению нижней грани существуют последовательности точек таких, что По принципу компактности последовательности имеют предельные точки и соответственно причем в силу замкнутости множеств Переходя в случае надобности к подпоследовательностям, можно считать, что По аксиоме треугольника для сферической метрики имеем

Но правая часть стремится к 0 при следовательно, переходя к пределу, получаем, что По аксиоме тождества для той же метрики отсюда следует, что а так как то это противоречит условию теоремы, по которому