18. Формула Вейля.

Интегральная формула Мартинелли — Бохнера выписывается для областей достаточно общего вида. Однако при она имеет недостаток, существенный для ряда вопросов: ядро этой формулы неаналитически зависит от Мы уже приводили примеры интегральных формул с аналитическими ядрами — формулу Коши для поликруговых областей и формулу Лере для выпуклых областей. Здесь мы приведем еще одну формулу с аналитическим ядром, которая применима для одного специального класса областей, более широкого, чем поликруговые области.

Определение 1. Пусть дана область а также конечное число функций и плоских областей Будем называть полиэдрическим множеством множество

если оно компактно в

Такое множество не обязательно связно; связное множество вида (1) мы будем называть полиэдрической областью. Часто рассматривается случай, когда все области являются кругами; соответствующее множество

будем называть аналитическим полиэдром. Если все функции являются полиномами, то (2) называется полиномиальным полиэдром.

В частном случае, когда и все полиэдрическая область является поликруговой, а полиэдр — поликругом.

Определение 2. Полиэдрическое множество (1) называется множеством Вейля, если и 1) все его грани

являются -мерными множествами; 2) пересечение любых различных граней ребро множества Вейля — имеет размерность не выше Совокупность -мерных ребер

множества Вейля называется его остовом. Связные множества Вейля называются областями Вейля.

Для получения интегрального представления функций, голоморфных в областях Вейля, нам понадобится специальное разложение функций определяющих эти области. Возможность такого разложения гарантирует

Теорема Хефера. Для любой функции где область в существуют функций голоморфных в и таких, что для всех точек имеет место тождество

В общем случае теорема Хефера неэлементарна, мы приведем ее доказательство в гл. IV. Здесь мы лишь заметим, что для полиномов тождество (5) получается простой перегруппировкой тейлоровского разложения функции в точке причем коэффициенты Хефера также оказываются полиномами.

Теорема 1 (Вейль). Пусть область Вейля (1), определяемая областями гладкими границами. Тогда любую функцию в любой точке можно представить формулой

где суммирование распространяется на все упорядоченные наборы индексов определяющие ребра остова области, коэффициенты Хефера и ребра ориентированы условием, что все проходятся в положительном направлении.

В случае, когда представляет собой поликруговую область остов состоит из одного ребра а, (и совпадает с остовом в смысле и сумма в (6) состоит из одного слагаемого. Коэффициенты Хефера в этом случае равны 1 при и 0 при т. е. определитель в формуле Вейля равен 1, и эта формула принимает вид

Таким образом, формула Вейля обобщает интегральную формулу Коши для поликруговых областей на случай областей Вейля. Как и формула Коши, она имеет ядро, аналитическое

по переменным Для упрощения формальных выкладок мы приведем доказательство теоремы Вейля в случае

Будем исходить из формулы Мартинелли — Бохнера, которая в случае областей Вейля из имеет вид

где грань области Идея получения формулы Вейля следующая; мы постараемся применить к (8) формулу Стокса так, чтобы исчезли неаналитические дифференциалы и вместо граней интегрирование велось по ребрам остова при этомокажется, что исчезнет и неаналитичность ядра (переменные Весьма существенную роль в этом преобразовании будет играть разложение Хефера (5).

Заметим прежде всего, что форма со стоящая под знаком интеграла (8), точная; она является дифференциалом любой из форм

Подтвердим это прямой выкладкой, полагая для простоты письма

что и требовалось доказать.

Заметим еще, что при лишь разность отлична от нуля (ибо ), а все остальные разности в некоторых точках обращаются в нуль. Поэтому при лишь форма неособая, а все остальные формы особые, и при интегрировании по грани формулу Стокса можно применять лишь так:

(мы воспользовались тем, что голоморфную функцию можно вносить под знак дифференциала формы

Если складывать эти интегралы, как требует формула (8), то каждое ребро будет встречаться дважды, с противоположной ориентацией (со стороны граней и Поэтому мы будем иметь

где суммирование ведется по всем упорядоченным парам индексов

Остается заметить, что при вычитании неаналитические части ядер (9) сокращаются:

(мы снова воспользовались принятыми выше упрощениями в обозначениях и разложением Хефера). Мы приходим, таким образом, к формуле

которая совпадает с формулой Вейля при

Замечание. Если множество Вейля (1) несвязно, то оно распадается на некоторое не более чем счетное число связных компонент (областей Вейля). Теорема 1, очевидно, остается в силе и в том случае, если несвязное множество Вейля. При этом для принадлежащих какой-либо компоненте, в формуле Вейля (6) отличен от нуля лишь интеграл по остову этой компоненты, а интегралы по остовам других компонент обращаются в нуль. Это следует из того, что интеграл Мартинелли — Бохнера, из которого выводится интеграл Вейля, равен нулю вне области.

Аналитичность ядра формулы Вейля используется, например, в вопросах приближения голоморфных функций функциями из некоторого класса. Приведем основные факты, относящиеся к этому.

Теорема 2. Любую функцию голоморфную в аналитическом полиэдре (2) и непрерывную в его замыкании, в этом полиэдре можно разложить в ряд

где векторные индексы, внутреннее суммирование производится упорядоченным наборам и коэффициенты выражаются по формулам

Ряд (11) сходится равномерно на любом компактном подмножестве полиэдра

Разложение (11) получается из формулы Вейля точно так же, как разложение Тейлора из интегральной формулы Коши. Для любой точки любой точки на остове можно написать разложение в сходящуюся геометрическую прогрессию:

При фиксированном это разложение сходится на а равномерно по , подставляя его в формулу Вейля (6), мы получаем разложение (11) с коэффициентами (12).

Равномерная сходимость ряда (11) на компактных подмножествах полиэдра доказывается обычным образом

Следствие 1. Любую функцию голоморфную в аналитическом полиэдре на любом множестве можно сколь угодно точно приблизить функциями, голоморфными в области которая участвует в определении полиэдра.

Коротко это следствие можно сформулировать так: семейство функций плотно в семействе

Частичные суммы ряда (11), очевидно, принадлежат они и приближают функции Чтобы избежать условия непрерывности в нужно заменить полиэдром где все и достаточно близки к последним скалярный индекс)

В частности, когда полиномиальный полиэдр (т. е. все функции полиномы), частичные суммы ряда (11) являются полиномами. Мы получаем

Следствие 2. Любую функцию голоморфную в полиномиальном полиэдре на любом множестве можно сколь угодно точно приблизить полиномами.

Области из на компактных подмножествах которых: каждая голоморфная функция сколь угодно точно приближается полиномами, называются областями Рунге (ср. теорему Рунге в п. 22 ч. I). Следствие 2 можно сформулировать так: любой полиномиальный полиэдр является областью Рунге.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)