Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Элементарные функцииЗдесь мы рассмотрим некоторые простейшие классы голоморфных функций комплексного переменного. 8. Дробно-линейные функцииДробно-линейные функции определяются соотношением
где того, чтобы исключить случай вырождения в постоянную
т. е. обращается в линейную функцию. Функция (1) определена для всех Теорема 1. Дробно-линейная функция (1) осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение С на С. Предполагаем, что
мы видим, что каждому
Мы хотим теперь доказать, что отображение (1) сохраняет углы во всех точках С. Для
(см. п. 7). Чтобы установить то же свойство для исключительных точек (из которых обе связаны с бесконечностью: одна сама бесконечна, а у другой образ бесконечен), надо ввести понятие угла в бесконечной точке. Определение. Под углом в точке
в точке Для тех читателей, которые не удовлетворены этим формальным определением, мы сообщим геометрические соображения, приводящие к нему. Прежде всего докажем, что стереографическая проекция Рассмотрим в плоскости С гладкий путь
Путь
или
где Переменные
откуда и следует конформность стереографической проекции. Учитывая доказанное, определим угол между путями Для этого заметим, что преобразованию (3) соответствует вращение сферы. (В самом деле, как видно из формулы
а точки Теорема 2. Дробно-линейное отображение (1) конформно во всех точках С. Для неисключительных точек теорема уже доказана. Пусть
и, следовательно,
в точке Мы хотим теперь доказать, что совокупность дробно-линейных отображений — мы обозначим эту совокупность через
их произведением мы назовем композицию отображений
Отображение
(ибо подстановка в выражение Проверим выполнение групповых аксиом. а) Ассоциативность: для любых трех отображений
В самом деле, обе части (8) представляют собой дробно-линейное отображение б) Существование единицы. Единицей, очевидно, служит тождественное отображение
в) Существование обратного элемента: для любого
В самом деле, обратным элементом для отображения (1) служит обратное к нему отображение (2). Доказана Теорема 3. Совокупность А всех дробно-линейных отображений образует группу, если в качестве групповой операции рассматривать композицию отображений. Замечание. Группа
|
1 |
Оглавление
|