Главная > Введение в комплексный анализ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Элементарные функции

Здесь мы рассмотрим некоторые простейшие классы голоморфных функций комплексного переменного.

8. Дробно-линейные функции

Дробно-линейные функции определяются соотношением

где фиксированные комплексные числа, а -комплексное переменное; условие накладывается для

того, чтобы исключить случай вырождения в постоянную числитель (1) пропорционален знаменателю). При непременно и функция (1) принимает вид

т. е. обращается в линейную функцию.

Функция (1) определена для всех (если ; при она определена для всех конечных z). Мы определим ее в этих исключительных точках, положив при при (в случае достаточно положить при ). Теперь справедлива

Теорема 1. Дробно-линейная функция (1) осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение С на С.

Предполагаем, что упрощения в случае очевидны. Функция (1) определена (однозначно) всюду в решая уравнение (1) относительно

мы видим, что каждому соответствует определенное 2, а в силу принятого выше условия точке отвечает точка Следовательно, (1) взаимно однозначно отображает С на С, остается доказать непрерывность. Но при непрерывность функции (1) очевидна; непрерывность в этих точках следует из того, что

Мы хотим теперь доказать, что отображение (1) сохраняет углы во всех точках С. Для это следует из того, что в этих точках существует производная

(см. п. 7). Чтобы установить то же свойство для исключительных точек (из которых обе связаны с бесконечностью: одна

сама бесконечна, а у другой образ бесконечен), надо ввести понятие угла в бесконечной точке.

Определение. Под углом в точке между двумя путями (проходящими через и такими, что их сферические изображения имеют касательную в северном полюсе) понимается угол между образами этих путей при отображении

в точке

Для тех читателей, которые не удовлетворены этим формальным определением, мы сообщим геометрические соображения, приводящие к нему. Прежде всего докажем, что стереографическая проекция представляет собой конформное отображение.

Рассмотрим в плоскости С гладкий путь , и по формулам найдем путь на соответствующий ему при стереографической проекции:

Путь , очевидно, также гладкий, и для квадрата элемента его длины из (4) получаем

или

где соответствующий элемент длины с формулой (17) из .

Переменные можно принять за координаты на сфере с выколотым северным полюсом тогда (5) будет служить первой квадратичной формой на этой поверхности. При этом в стандартных обозначениях (в которых ) мы будем иметь

откуда и следует конформность стереографической проекции.

Учитывая доказанное, определим угол между путями точке как угол между сферическими образами этих путей в северном полюсе N (предполагается, что имеют в точке касательные). Этому определению можно придать более удобную форму.

Для этого заметим, что преобразованию (3) соответствует вращение сферы. (В самом деле, как видно из формулы при этом преобразовании сохраняются сферические расстояния:

а точки соответствующие они диаметрально противоположны — остаются неподвижными.) Поэтому угол в точке между путями равен углу в точке О между путями в которые переходят и при этом вращении. Но в силу конформности стереографической проекции этот угол равен углу в точке между путями в которые переходят отображении (3). Таким образом, мы приходим к принятому выше определению.

Теорема 2. Дробно-линейное отображение (1) конформно во всех точках С.

Для неисключительных точек теорема уже доказана.

Пусть Два пути, проходящие через точку пересекающиеся в этой точке под углом а (предполагается, что пути имеют касательные в этой точке). Угол между их образами у и при отображении (1) в точке соответствующей по определению равен углу между образами путей у и при отображении в точке Но

и, следовательно, можно рассматривать как образы при этом отображении. Так как производная

в точке существует и отлична от нуля, то угол между в точке равен а. Для точки теорема доказана. Чтобы доказать ее для точки достаточно применить то же рассуждение к функции (2), обратной к (1)

Мы хотим теперь доказать, что совокупность дробно-линейных отображений — мы обозначим эту совокупность через можно рассматривать как группу. Пусть даны два дробно-линейных отображения:

их произведением мы назовем композицию отображений т. е. отображение

Отображение очевидно, дробно-линейно,

(ибо подстановка в выражение вместо дробно-линейной функции снова приводит к дробно-линейной функции), и притом преобразует С на С, а не вырождается в постоянную).

Проверим выполнение групповых аксиом.

а) Ассоциативность: для любых трех отображений имеем

В самом деле, обе части (8) представляют собой дробно-линейное отображение

б) Существование единицы. Единицей, очевидно, служит тождественное отображение

в) Существование обратного элемента: для любого существует отображение такое, что

В самом деле, обратным элементом для отображения (1) служит обратное к нему отображение (2).

Доказана

Теорема 3. Совокупность А всех дробно-линейных отображений образует группу, если в качестве групповой операции рассматривать композицию отображений.

Замечание. Группа не коммутативна: пусть, например, тогда

1
Оглавление
email@scask.ru