§ 3. Элементарные функции

Здесь мы рассмотрим некоторые простейшие классы голоморфных функций комплексного переменного.

8. Дробно-линейные функции

Дробно-линейные функции определяются соотношением

где фиксированные комплексные числа, а -комплексное переменное; условие накладывается для

того, чтобы исключить случай вырождения в постоянную числитель (1) пропорционален знаменателю). При непременно и функция (1) принимает вид

т. е. обращается в линейную функцию.

Функция (1) определена для всех (если ; при она определена для всех конечных z). Мы определим ее в этих исключительных точках, положив при при (в случае достаточно положить при ). Теперь справедлива

Теорема 1. Дробно-линейная функция (1) осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение С на С.

Предполагаем, что упрощения в случае очевидны. Функция (1) определена (однозначно) всюду в решая уравнение (1) относительно

мы видим, что каждому соответствует определенное 2, а в силу принятого выше условия точке отвечает точка Следовательно, (1) взаимно однозначно отображает С на С, остается доказать непрерывность. Но при непрерывность функции (1) очевидна; непрерывность в этих точках следует из того, что

Мы хотим теперь доказать, что отображение (1) сохраняет углы во всех точках С. Для это следует из того, что в этих точках существует производная

(см. п. 7). Чтобы установить то же свойство для исключительных точек (из которых обе связаны с бесконечностью: одна

сама бесконечна, а у другой образ бесконечен), надо ввести понятие угла в бесконечной точке.

Определение. Под углом в точке между двумя путями (проходящими через и такими, что их сферические изображения имеют касательную в северном полюсе) понимается угол между образами этих путей при отображении

в точке

Для тех читателей, которые не удовлетворены этим формальным определением, мы сообщим геометрические соображения, приводящие к нему. Прежде всего докажем, что стереографическая проекция представляет собой конформное отображение.

Рассмотрим в плоскости С гладкий путь , и по формулам найдем путь на соответствующий ему при стереографической проекции:

Путь , очевидно, также гладкий, и для квадрата элемента его длины из (4) получаем

или

где соответствующий элемент длины с формулой (17) из .

Переменные можно принять за координаты на сфере с выколотым северным полюсом тогда (5) будет служить первой квадратичной формой на этой поверхности. При этом в стандартных обозначениях (в которых ) мы будем иметь

откуда и следует конформность стереографической проекции.

Учитывая доказанное, определим угол между путями точке как угол между сферическими образами этих путей в северном полюсе N (предполагается, что имеют в точке касательные). Этому определению можно придать более удобную форму.

Для этого заметим, что преобразованию (3) соответствует вращение сферы. (В самом деле, как видно из формулы при этом преобразовании сохраняются сферические расстояния:

а точки соответствующие они диаметрально противоположны — остаются неподвижными.) Поэтому угол в точке между путями равен углу в точке О между путями в которые переходят и при этом вращении. Но в силу конформности стереографической проекции этот угол равен углу в точке между путями в которые переходят отображении (3). Таким образом, мы приходим к принятому выше определению.

Теорема 2. Дробно-линейное отображение (1) конформно во всех точках С.

Для неисключительных точек теорема уже доказана.

Пусть Два пути, проходящие через точку пересекающиеся в этой точке под углом а (предполагается, что пути имеют касательные в этой точке). Угол между их образами у и при отображении (1) в точке соответствующей по определению равен углу между образами путей у и при отображении в точке Но

и, следовательно, можно рассматривать как образы при этом отображении. Так как производная

в точке существует и отлична от нуля, то угол между в точке равен а. Для точки теорема доказана. Чтобы доказать ее для точки достаточно применить то же рассуждение к функции (2), обратной к (1)

Мы хотим теперь доказать, что совокупность дробно-линейных отображений — мы обозначим эту совокупность через можно рассматривать как группу. Пусть даны два дробно-линейных отображения:

их произведением мы назовем композицию отображений т. е. отображение

Отображение очевидно, дробно-линейно,

(ибо подстановка в выражение вместо дробно-линейной функции снова приводит к дробно-линейной функции), и притом преобразует С на С, а не вырождается в постоянную).

Проверим выполнение групповых аксиом.

а) Ассоциативность: для любых трех отображений имеем

В самом деле, обе части (8) представляют собой дробно-линейное отображение

б) Существование единицы. Единицей, очевидно, служит тождественное отображение

в) Существование обратного элемента: для любого существует отображение такое, что

В самом деле, обратным элементом для отображения (1) служит обратное к нему отображение (2).

Доказана

Теорема 3. Совокупность А всех дробно-линейных отображений образует группу, если в качестве групповой операции рассматривать композицию отображений.

Замечание. Группа не коммутативна: пусть, например, тогда