37. Принцип компактности.

Определение 1. Семейство функций заданных в некоторой области называется равномерно ограниченным внутри если для любого множества существует постоянная такая, что

Теорема 1. Если семейство функций голоморфных в области равномерно ограничено внутри то и семейство производных также равномерно ограничено внутри

Пусть произвольный круг, построим круг такой, что и По формуле Коши для производных в любой точке имеем для любой

Пусть теперь тогда для всех имеем пользуясь равномерной ограниченностью семейства получаем из (2)

Доказана равномерная ограниченность в кругах Любое множество можно покрыть кругами, компактно принадлежащими . По теореме Хейне-Бореля из этого покрытия можно выбрать конечное . Тогда, если обозначить то для всех и всех будем иметь

Определение 2. Семейство функций заданных в некоторой области называется равностепенно непрерывным внутри если для любого и любого множества найдется такое, что

для всех таких, что и всех

Теорема 2. Если семейство функций голоморфных в области равномерно ограничено внутри то оно и равностепенно непрерывно внутри

Пусть обозначим через расстояние между непересекающимися замкнутыми множествами по всем и всем и через

-раздутие множества К. Так как, очевидно, то по теореме 1 найдется постоянная такая, что

Пусть две произвольные точки К такие, что тогда все точки прямолинейного отрезка принадлежат следовательно, для всех и всех справедливо неравенство (4). Поэтому для всех мы имеем

Отсюда и следует равностепенная непрерывность семейства на К, ибо для любого можно взять

Определение 3. Семейство функций заданных в некоторой области называется компактным в если из каждой последовательности функций этого семейства можно извлечь подпоследовательность сходящуюся равномерно на любом

Теорем а 3 (Монтель). Если семейство функций голоморфных в области равномерно ограничено внутри то оно компактно в

а) Докажем сначала, что если последовательность сходится в каждой точке некоторого множества всюду плотного в то она сходится равномерно на каждом Фиксируем и множество пользуясь равностепенной непрерывностью семейства выберем разбиение на квадраты со сторонами, параллельными координатным осям плоскости столь мелкие, что для любых точек принадлежащих одному квадрату, и любой справедливо неравенство

Множество К покрыто конечным числом таких квадратов так как всюду плотно в то в каждом найдется точка Так как последовательность сходится на то найдется число такое, что

Пусть теперь произвольная точка найдется точка лежащая в том же квадрате, что и и для всех будем иметь

в силу неравенств (5) и (6). По критерию Коши отсюда заключаем, что последовательность сходится для всех причем сходимость равномерна на К.

б) Теперь докажем, что из любой последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся в каждой точке некоторого множества всюду плотного в . В качестве выберем множество точек обе координаты которых х и у рациональны; оно, очевидно, счетно и всюду плотно в пусть

Числовая последовательность ограничена, следовательно, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность Числовая последовательность также ограничена, следовательно, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность последовательность функций сходится, следовательно, по

крайней мере в двух точках: Из последовательности извлекаем сходящуюся подпоследовательность так, что сходится по крайней мере в точках Аналогичное построение можно продолжать неограниченно. Остается выбрать так называемую диагональную последовательность

Эта последовательность сходится в любой точке ибо по построению все ее члены, начиная с выбраны из последовательности сходящейся в точке

Объединяя доказанное в б) и а), получаем утверждение теоремы

Теорему Монтеля часто называют принципом компактности.

Определение 4. Функционалом на семействе функций определенных в области называется отображение . С этого семейства в С (это означает, что указан закон, по которому каждой функции ставится в соответствие комплексное число Функционал на называется непрерывным, если для любой последовательности которая равномерно сходится к на любом

Пример. Пусть семейство всех функций голоморфных в области и а — произвольная точка Рассмотрим коэффициент тейлоровского разложения в точке а:

Это — функционал на семействе покажем, что он непрерывен. Если равномерно на каждом то, взяв в качестве К окружность мы для любого найдем такое, что для всех и всех По неравенствам Коши получим тогда, что для всех

а это и означает непрерывность функционала

Определение 5. Компактное семейство функций называется компактным в себе, если предел любой последовательности равномерно сходящейся на каждом принадлежит семейству

Теорема 4. Всякий функционал непрерывный на компактном в себе семействе достигает своей верхней грани, т. е.. существует функция такая, что для всех

Положим это некоторое число, быть равное По определению верхней грани найдется последовательность такая, что Так как компактно в себе, то существует подпоследовательность сходящаяся равномерно на каждом к некоторой функции . В силу непрерывности функционала имеем

отсюда заключаем, во-первых, что во-вторых, что для всех

В дальнейшем мы будем рассматривать семейства функций, однолистных в некоторой области Для доказательства компактности в себе таких семейств полезна

Теорема 5 (Гурвиц). Пусть последовательность функций голоморфных в области равномерно на любом схфдится к функции Тогда, если то в любом круге все функции начиная с некоторой, также обращаются в нуль.

По теореме Вейерштрасса голоморфна в по теореме единственности существует множество на котором Обозначая имеем Так как сходится на у равномерно, то найдется такое, что

для всех и всех Для таких по теореме Руше функция имеет внутри у столько же нулей, сколько их имеет там т. е. по крайней мере один нуль

Следствие. Если последовательность функций голоморфных и однолистных в области сходится равномерно на каждом то предельная функция этой последовательности либо однолистна, либо постоянна.

Пусть но Рассмотрим последовательность функций и круг где предельная функция обращается в нуль в точке следовательно, по теореме Гурвица и все начиная с некоторого номера, обращаются в нуль в этом круге, но это противоречит однолистности функций